Cum ? Să FI mai F E R I C I T ?? // The inequality called TITU ANDREESCU's Lemma

 I-auzi ce zice doamna :

„Nu dopamina este dușmanul. Problema apare când ne organizăm viața în jurul recompensei permanente”

Concluzia (ei) : Soluția nu este să eliminăm dopamina din viețile noastre, ci  << să învățăm din nou să tolerăm așteptarea, efortul, plictiseala și „durerea potrivită” și să nu transformăm fiecare moment al vieții într-o căutare a recompensei. >>

Și eu caut să repet ceea ce mi-a adus odată plăcere... Dar, prin unele le lucruri care le fac, am impresia că provoc altora durere... 

And I'm looking to repeat what once brought me pleasure...

page 305 :

    "E : 12200.  If  $x,y\in (0\;,\;+\infty)$ , prove that                    

 $\frac{4}{x}+\frac{9}{y}\geqslant \frac{25}{x+y} \tag{E}$

 {Authors : } Daniel FEHER, Sebeș, Alba and Aurel DOBOȘAN, Lugoj"

ANSWER  CiP

$"="\;\Leftrightarrow\;x=2\cdot t\;,\;y=3\cdot t\;\;,\;t>0\;-\;real\;number$

                                      Solution CiP

          From

  $\frac{4}{x}+\frac{9}{y}-\frac{25}{x+y}=\frac{4y(x+y)+9x(x+y)-25xy}{xy(x+y)}=\frac{4xy+4y^2+9x^2-25xy}{xy(x+y)}=\frac{9x^2-12xy+4y^2}{xy(x+y)}=\frac{(3x-2y)^2}{xy(x+y)}\geqslant 0$

We have  $"="\Leftrightarrow3x-2y=0\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$.  We get the answer.

$\blacksquare$

          REMARKS CiP

               1. The inequality takes the form

$\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{y}\geqslant \frac{(2+3)^2}{x+y}$

In this form, it is known as Titu's Lemma. In reality, his surname is Andreescu; Titu is his first name.

<end REM>