Problemă propusă pentru clasa a V-a
Răspuns a) $63$
b) $a=5$, $b=2$
Rezolvare
a) Notăm $S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}$. Calculăm $1+S$ și obținem
$ 1+S=(1+1)+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=$
$=(2+2)+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=$
$=(4+4)+2^{3}+2^{4}+2^{5}=$
$=(8+8)+2^{4}+2^{5}=$
$=(16+16)+2^{5}=32+32=64$ $\Rightarrow$ $S=64-1=63$.
Remarcă Avem, în general, formula
$1+2+2^{2}+\cdot \cdot \cdot +2^{n}=2^{n+1}-1$, $n \in \mathbb{N}$;
demonstratia decurge similar, calculând $1+S$, $S$ fiind suma dată, și observând că, la fiecare pas $k$ obținem $2^{k}+2^{k}=2^{k+1}$, $k \in \mathbb{N}$, rezultatul final fiind $2^{n+1}$.
$2020=11111100100_{2}$
sau, ca sumă de puteri ale lui $2$:
$(\ast)$ $2020=2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{2}$
Egalitatea cerută se scrie:
$2^{a} \cdot (2^{6}-1)+2^{b}=2020$
sau, ținând cont de rezultatul de la punctul a)
$2^{a}\cdot (1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})+2^{b}=2020$,
sau
$ 2^{a}\cdot 1+2^{a}\cdot 2+2^{a}\cdot 2^{2}+2^{a}\cdot 2^{3}+2^{a}\cdot 2^{4}+2^{a}\cdot 2^{5}=2020$,
sau încă
$2^{a}+2^{a+1}+2^{a+2}+2^{a+3}+2^{a+4}+2^{a+5}+2^{b}=2020$.
Din unicitatea scrierii în baza 2 (Euler, ??) a numărului 2020, și comparând cu relatia ($\ast$), rezultă $a=5$ si $b=2$.
$\blacksquare$
