sâmbătă, 29 decembrie 2018

Problema E:15465 GMB 12/2018

In GMB 12/2018, pag 607, pentru Clasa 7


Rezolvare CP

O figura posibila (intentionat ales un triunghi $ABC$ obtuzunghic)


Fie $MM'\perp BC$ si $NN' \perp BC$ segmentele care masoara distantele respectiv $d(M,BC)$ si $d(N,BC)$.
Avem urmatoarea

        LEMĂ $AM'$ este bisectoarea unghiului $\angle HAB$ iar $AN'$ este bisectoarea
                    unghiului $\angle HAC$.

          Într-adevar, in trapezul dreptunghic $AHM'M$ (vezi fig de mai jos), din $MA=MM'$ rezulta $\angle MM'A=\angle MAM'$,

dar $\angle MM'A=\angle M'AH$ ca alterne interne pentru $MM' \parallel AH$ si secanta $AM'$, de unde obtinem concluzia.                                                                                  $\blacksquare $(LEMA)          

Aplicam teorema bisectoarei in triunghiurile $\Delta AHB$ si $\Delta AHC$, obtinand respectiv

(1)                     $\frac{M'H}{M'B}=-\frac{AH}{AB}$ ,

(2)                     $\frac{N'H}{N'C}=-\frac{AH}{AC}$ .

Notam mai departe cu $D$ piciorul bisectoarei unghiului $\angle BAC$; avem tot cu teorema bisectoarei

(3)                        $\frac{DB}{DC}=-\frac{AB}{AC}$.

Mai departe, teorema lui Thales aplicata pentru $MM' \parallel AH$ in triunghiul $\Delta BAH$ si $NN' \parallel AH$ in triunghiul $\Delta CAH$, conduc respectiv la

(4)                 $\frac{M'H}{M'B}=\frac{MA}{MB}$ ,

(5)                 $\frac{N'H}{N'C}=\frac{NA}{NC}$ .


       Sa calculam acum
$\frac{MA}{MB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot\frac{NC}{NA}=(4)\wedge(3)\wedge(5-inv.)=\frac{M'H}{M'B}\cdot (- \frac{AB}{AC})\cdot \frac{N'C}{N'H}=$

$=(1)\wedge(2-inv.)=-\frac{AH}{AB}\cdot(- \frac{AB}{AC})\cdot (-\frac{AC}{AH})=-1$

deci cu reciproca teoremei Ceva deducem ca dreptele $BN,CM,AD$ sunt concurente.
$\blacksquare$


Remarcă CP În realitate punctele $M$ si $N$ sunt intersectiile segmentelor $[AB]$ si $[AC]$ cu parabola de focar punctul $A$ si directoare dreapta $BC$.

marți, 25 decembrie 2018

Problema E:15455 GMB 12/2018

In GMB 12/2018, pag 606, pentru Clasa 5

Rezolvare CP

Numărul $2016$ este multiplu de $6$ deci $2016=3 \cdot 672 =2 \cdot 1008$. Prin urmare
 $28^{2016}=(28^{672})^{3}=(28^{1008})^{2}$.
Mai departe avem $28=8+16=2^{3}+4^{2}$, adică o scriere de forma $x^{3}+y^{2}$ și atunci obținem 
 $28^{2017}=28 \cdot 28^{2016}=(2^{3}+4^{2}) \cdot 28^{2016}=2^{3} \cdot 28^{2016}+4^{2} \cdot 28^{2016}=$
$=2^{3} \cdot (28^{672})^{3}+4^{2} \cdot (28^{1008})^{2}=(2 \cdot 28^{672})^{3}+(4 \cdot 28^{1008})^{2}$,
adică tocmai o scriere de forma căutată.
$ \blacksquare$

GAZETA MATEMATICA Seria B N0 12/2018



Vezi DRIVE sau issuu.com sau scribd.com

Vezi ERATA



SUPLIMENTUL cu EXERCITII al GMB N0 12/2018




Vezi DRIVE sau issuu.com sau scribd.com

duminică, 23 decembrie 2018

O Problema de Divizibilitate



In GMB 11/2018, pag. 527.
Problema propusa la Un concurs Judetean... pentru clasa 6 (??)...Sursa este o problema din Gazeta, pe care nu am identificat-o inca.

Hai sa o rezolvam in LATEX

Raspuns CP :  11

Rezolvare CP

Avem, pentru anumiti $a$ si $b$ egalitatile
(1)                                                                                    $n=44a+7$;
(2)                                                                                   $ n=42b+5$;
Sa calculam $n+37$. Cu (1) avem $n+37=44a+44=44(a+1)$ iar cu (2) avem $n+37=42b+42=42(b+1)$.
Avem deci divizibilitatile $44 \mid n+37$ si $42 \mid n+37$;
 ca urmare CMmMC$[44;42] \mid n+37$, adica
 $924 \mid n+37$.
Asadar avem, pentru un anumit $c$,
(3)                                                                                  $n=924c-37$.
Din (3), scrisa sub forma 
$n=924(c-1)+887=924(c-1)+876+11=12[77(c-1)+73]+11=12d+11$
obtinem imediat raspunsul.
$ \blacksquare$



Comentariu pentru.....comentatori (!)

#1 ? Cum sa gasesti acest numar "miraculos" 37, pe care daca-l aduni la $n$ se rezolva problema ??



GAZETA MATEMATICA Seria B N0 11/2018




Vezi in DRIVE sau pe issuu.com ori scribd.com

duminică, 18 noiembrie 2018

Inca o Proprietate a Misteriosului Triunghi Egiptean 3--4--5

Aflati unghiul x

S-a dat la o olimpiada in Brazilia. (de aflat detalii !!)

Raspuns: $x=45^{\circ}$

Rezolvare









Folosim notatiile din figura; m($\measuredangle C$)=$\alpha$.
Evident triunghiul este dreptunghic in A, iar $\alpha \approx$37$^{\circ}$; in plus
 m($\measuredangle B$)=$90^{\circ}-\alpha$.
Avem triunghiurile isoscele ACD - cu AC=CD=4, respectiv ABE - cu AB=BE=3 .
Din primul deducem m($\measuredangle ADE$)=$90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$, iar acest unghi fiind unghi exterior in $\Delta$ABD urmeaza ca m($\measuredangle BAD$=$(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})-(90^{\circ}-{\alpha})=\frac{\alpha}{2}$.
Al doilea triunghi isoscel pomenit mai sus are unghiul de la varf m($\measuredangle B$)=$90^{\circ}-{\alpha}$ deci m($\measuredangle AED$)=$\frac{180^{\circ}-(90^{\circ}-{\alpha})}{2}$=$45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$. Acest din urma unghi este unghi exterior in $\Delta$AEC deci gasim m($\measuredangle CAE$)=($45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})-{\alpha}=45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$.
In fine $x$ este egal cu m($\measuredangle BAC$)-m($\measuredangle BAD$)-m($\measuredangle CAE$)=$=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=45^{\circ}$.

duminică, 11 noiembrie 2018

PROIECT Cls V, Școala Gimnazială SADU -- Asteroizi si Meteoriti

Autoare: BUNEA Larisa-Maria





O problema de la PERU GEOMETRICO


PERÚ GEOMÉTRICO se complace en presentar este interesante problema ,espero sea de su agrado y manden sus resoluciones.




Seamana cu relatia lui Casey pentru patrulatere inscriptibile.....
O posibila solutie, pe masa din ....bucatarie   

PROIECT Cls V, Școala Gimnazială SADU -- NUMERELE PRIME

Autori: ROMAN Mario-Constantin + ROMAN Ioana-Alexia + BARB Andreea Maria

 

Fara teorie......NU se poate:





















Asa arata la inceput:



Si asa la sfarsit




Poate de aceea ne-am mirat.......!

sâmbătă, 10 noiembrie 2018

PROIECT Cls V, Școala Gimnazială SADU - Sistemul Solar


Autori: Băncioiu Paul-Constantin + Ștefănuță  Ilie-Andrei + Șandru Dumitru-Lucian (de la St --> Dr)

Foarte bine realizat!



Excelent documentat !

SOARELE













































































































































































...............................................................