LUMEA în M I Ș C A R E vs S T A T U L , și o Călătorie la MEDIAȘ // The WORLD in MOTION vs. THE REST — and a Journey to MEDIAȘ // Three Almost TRIVIAL Problems

           Am făcut o călătorie la Mediaș, orașul copilăriei soției, pentru niște mici cumpărături. Vreme așa și șa, se prognoza cam ploaie dar am scăpat...

...și mâncatul de rigoare...

.

.

Pe masă am ...nelipsita carte...

azi un Autor inedit : Bogdan SUCEAVĂ.

         Altfel, lumea este în mișcare...

Soția, mergând spre ATLASSIB, de două ori pe săptămână, marțea și vinerea

sau

la M/edicul de/ F/amilie/

(numai eu stiu care este ea, urcand in Autobuz)

Iar eu

S T A U

dar am un  SUFLET DRAG  pentru care merita sa traiesc...(care este pe Locul 2, dupa sotie...)

și îmi umplu timpul cu tot felul de Probleme...

    "S : E26.250.  Let $a,\;b,\;c\;$ be positive real numbers such that  

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{1}{a+b+c+2}$. 

                              Prove that  $\frac{\sqrt{abc+1}}{a+b+c+1}$  is a natural number.

{ Autor : } Ion NEAȚĂ, Slatina "

ANSWER CiP

$\frac{\sqrt{abc+1}}{a+b+c+1}=1$

                                 Solution CiP

               The given equation is written out step by step

$\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a+b+c+2}\;\Rightarrow\;abc=(a+b+c)(a+b+c+2)\;\Rightarrow$

$\Rightarrow\;abc+1=(a+b+c)^2+2(a+b+c)+1\;\Rightarrow\;abc+1=(a+b+c+1)^2\Rightarrow$

$\underset{a,\;b,\;c>0}{\Rightarrow}\;\sqrt{abc+1}=a+b+c+1\;\;\Rightarrow\;\;\frac{\sqrt{abc+1}}{a+b+c+1}=1\in\mathbb{N}$

$\blacksquare$

"S : L26.245.  Let $a,\;b,\;c\;\in\mathbb{R}^*\;$ with  $a+b+c=0$. Show that

$\frac{1}{-a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2-b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=0.$

{No Author}"

                                  Solution CiP

                    The denominators are, under the given conditions, different from zero. Indeed,

$-a^2+b^2+c^2=-(-b-c)^2+b^2+c^2=-2bc\neq 0$

and the analogous expressions. Then

$\frac{1}{-a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2-b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ca}+\frac{1}{-2ab}=$

$=\frac{1}{2}\cdot \left ( \frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab} \right )=-\frac{1}{2}\cdot \frac{a+b+c}{abc}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{0}{abc}=0.$

$\blacksquare\;\;\blacksquare$

"S: L26.254.  Prove that the equation 

$(x-1)(y-1)=\sqrt[3]{z}(x+y-\sqrt[3]{z})$

 has infinitely many solutions in the set of natural numbers.

{Author : } Traian TĂMÂIAN, Carei"

ANSWER CiP

$x=y=2k^2+2k+1\;\;,\;z=8k^6\;or\;z=8(k+1)^6\;\;\;,\;k\in\mathbb{N}$

Solution CiP

ÎNĂLȚAREA // ASCENSION

 Cum ?  ar fi să ajungi până la cer  ??

Oh, eu știu UN ÎNGER aici pe Pământ... Îi dedic poezia de la sfârșit.

          The photo shows the raising of the Christmas tree in the Great Square (Piața Mare) in Sibiu.

(iar in drum spre casa am intalnit o fosta eleva din APOLDU de SUS, Denisa GAGEA)

And now, the poem, from Ramona BUMBAC

Am să te cresc

Am să te cresc când cerul se-ncovoaie

Să te ating cu-a norilor păcat

Vreau să te joc în zilele cu ploaie

Când soarele de nori s-a spânzurat

Vreau să te scald ascuns sub o umbrelă

Să gust dulceața ta pe-un curcubeu

Și să-ți pictez iubirea-n acuarelă.

S-o pot topi la tine-n decolteu

Să simt că ard, cum arde focu-n sobă,

În versurile sfinte m-am pierdut

Când tocul meu cotroboie prin tolbă.

Mă simt stingher, cerându-ți un sărut

Un diamant, ce taie nebunește

În zâmbetul șăgalnic ispitit

Cuvântul meu de dor ce îndulcește

Nectarul tău, ce-n noapte-am absorbit

Când-amândoi sub candelabrul nopții

Ne împărțim păcatul înc-un ceas

Am să te-aștept mereu în fața porții

Să îți aud pe-aleie primul pas

< >

"Datul pe BRAZDĂ" : condiție NECESARĂ sau SUFICIENTĂ ?? // The condition is N E C E SS A R Y or S U FF I C I E N T ??

Mi-ai spus : 

 "... Începi să te dai pe brazdă ..." 

Dar ce urmează  DUPĂ  cele trei  ...  ??

AȘTEPTAREA  NU  e de ajuns !

Îmi iau o pauză...de gândire...

          I found the following Problem on page 76 :

"C : 9.  Let  $a_1,\; a_2,\,\dots\;,a_{10}$  be real numbers such that $a_{10}\neq 0$  and

$\frac{a_1}{a_2+a_3+\dots +a_{10}}=\frac{a_1+a_2}{a_3+a_4+\dots +a_{10}}=\dots=\frac{a_1+a_2+\dots +a_9}{a_{10}}=K.$

Show that $K\in \left \{-1,\;\frac{a_1}{a_{10}} \right \}$.  Generalization.

{ Author : }  Mihai DICU, teacher, Craiova"

ANSWER CiP

The problem's assumptions are insufficient. In fact, the condition that other denominators appearing in the problem statement must also be non-zero is missing. We address this in the following

                      GENERALIZATION

Let  $m\geqslant 3$  and real numbers  $a_1,\;a_2,\;\dots \;,\;a_m$  sucht that

$a_m \neq 0,\;a_{m-1}+a_m \neq 0, \dots ,\;a_2+\dots +a_m \neq 0. \tag{I}$

If  $K=\frac{a_1}{a_2+\dots +a_m}=\frac{a_1+a_2}{a_3+\dots +a_m}=\dots =\frac{a_1+\dots +a_{m-1}}{a_m}$         (E)

                     then  $K\in \left \{-1,\;\frac{a_1}{a_m} \right \}.$

ANSWER CiP to GENERALIZATION

We have one of the following possibilities :

            EITHER

$a_1+a_2+\dots a_m=0 \tag {$S_1$}$

    when  $K=-1$

            OR 

$a_2=\dots=a_{m-1}=0\;,\;\;a_1,\,a_m\;-\;being\;arbitrary\;, \;a_m\neq 0 \tag{$S_2$}$

    when  $K=\frac{a_1}{a_m}.$

 Solution CiP

SUFFICIENCY

              We fix an arbitrary index  $p\in\{1,\;2,\dots ,m-1\}.$

$(S_1)\;\Rightarrow\; a_1+\dots +a_p=-(a_{p+1}+\dots +a_m)\underset{(I)}{\neq}0\;\Rightarrow\;\frac{a_1+\dots +a_p}{a_{p+1}+\dots +a_m}=-1$

so the equalities  (E)  are satisfied.

$(S_2)\;\Rightarrow\;\frac{a_1+\dots +a_p}{a_{p+1}+\dots +a_m}=\frac{a_1}{a_m}$

and equalities  (E)  are again satisfied.

NECESSITY

               $(E)\Rightarrow K=\frac{(a_1+a_2)-a_1}{(a_3+\dots a_m)-(a_2+a_3+\dots +a_m)}=\frac{a_2}{-a_2}=-1$ , 

this applies when  $a_2 \neq 0$ ; for each of the fractions in  (E)  to have a value of  $-1$ , it is necessary and sufficient that  $\sum a_i=0$.  If  $a_2=0$ then it depends on whether 

$S=a_3+\dots  +a_{m-1}$

 is zero or not. If  $S=0$  then $K=\frac{a_1+0}{a_m}$  and if  $S\neq 0$  then  $K=-1$.

$\blacksquare$

VASILE B I V O L A R U din TIMIȘOARA - un P r o f e s o r de care NU AM VOIE SĂ UIT // VASILE BIVOLARU from TIMIȘOARA - a teacher whom I MUST NOT FORGET

 Just as I am not allowed to forget HER

The author of the problem, Vasile BIVOLARU, was my high school teacher. I am posting it here in his memory.

"24063. (page 85)   Prove that if  $a>1$ , then for any  $x\in\mathbb{R}$ ,

 the following inequality holds:

$a^x+(a+1)^x+(a^2+5a+6)^x\geqslant (a+2)^x+(a+3)^x+(a^2+a)^x$

{Author : } Vasile BIVOLARU, Timișoara"

ANSWER CiP

$"="\;\;\Leftrightarrow\;\;x=0$

                             Solution CiP

               Let us denote :

$b=a^x\;\;,\;\;c=(a+1)^x\;\;,\;\;u=(a+2)^x\;\;,\;\;v=(a+3)^x$

Noting that  $a^2+5a+6=(a+2)(a+3)\;\;and\;\;a^2+a=a(a+1)$ , the inequality to be proven is written as follows:

$b+c+u\cdot v \geqslant u+v+b\cdot c\;\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;\;u\cdot v-u-v+1\geqslant b\cdot c-b-c+1\;\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;\;(u-1)(v-1)\geqslant (b-1)(c-1) \tag{1}$

          If  $x>0$ , then  $v>u>c>b>1$  so

$\begin{cases}u-1>b-1>0\\v-1>c-1>0\end{cases} \tag{2}$

and multiplying the inequalities  (2)  above, we obtain  (1) , with the sign  $">"$.

          If  $x<0$ , then  $1>b>c>u>v>0$  so  $1-v>1-u>1-c>1-b>0$ , and then

$(1-v)(1-u)>(1-c)(1-b)\;\;\Leftrightarrow\;\;(v-1)(u-1)>(c-1)(b-1)$

and we arrive at the same conclusion.

          If  $x=0$  then  $b=c=u=v=1$  and we obtain  $"="$  in  (1).

     We obtained the answer.

$\blacksquare$

           REMARK CiP  I would not have easily found this beautiful and simple solution without the help of AOPS.

Inteligența sau Iubirea Artificială // Artificial Intelligence or Artificial Love /// O veche Problemă de la un NOU CONCURS // An Old Problem from a NEW CONTEST

 Poate așa s-au frământat oamenii și la apariția Curentului Electric în locuințe. Cum e mai bine : Dragoste la lumânare sau la bec ? Orice iubire trebuie să înceapă pe lumină. Când fierbințeala trupurilor ajuge la extaz, cu un suflu puteai stinge lumânarea, sau o puteai lăsa să vă vegheze. Pentru bec trebuie să te dezlipești de ființa iubită și să mergi la întrerupător.

<

Perhaps people wrestled with the same question when electricity first arrived in homes: which is better—making love by candlelight or by the light of a bulb? Any romance should begin in the light. When the heat of your bodies reaches a state of ecstasy, you can simply blow out the candle—or let it keep watch over you. With a light bulb, however, you have to pull yourself away from your beloved to go and flip the switch.

>

          La timpul ei nu am reușit să rezolv problema. Eram în perioada premergătoare începerii anului 1 de facultate. Am revăzut-o azi și n-am avut nici acum inspirația necesară. Noroc că m-au ajutat Inteligențele artificiale, cum au făcut o aici și aici, și aici, asta doar în ultimele câteva zile. În curând ne vor lua locul... De fapt am pățit să fie nevoie de Dragoste amestecată cu Tehnologia Avansată...

<

Back then, I couldn't manage to solve the problem. It was just before I started my first year of university. I revisited it today, but I still lacked the necessary insight. Luckily, Artificial Intelligence came to my aid—just as it did here, and here, all within the last few days alone. Before long, it will take our place... As it happens, what was needed here was a blend of Love and Advanced Technology...

>

          On page 5 of the magazine mentioned in the title, we find the problem :

     "C : 5.  Let $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}^*}$  be a sequence  $x_{n+1}=x_n-nx_n^2$ , for 

 $n\in\mathbb{N}^* \;,\;x_1\in (0,1)$.  Show that the series 

$$\sum_{n=1}^\infty x_n$$

                                      is convergent.

{ Author: }  L. Panaitopol"

SOLUTION  CiP  adapted from AI

               From inequality

$z(1-z)\leqslant \frac{1}{4} \tag{1}$

($\Leftrightarrow (1-2z)^2\geqslant 0$)  and the condition  $0<x_1<1$ it follow that  $0<x_1(1-x_1)=x_1-x_1^2=x_2\leqslant \frac{1}{4}$ —or, in a weaker sense, $0<x_2<\frac{1}{2}$—holds.

By mathematical induction, it then follows that 
$0<x_n<\frac{1}{n} \tag{2}$

( (2) is true for  $n=1\;and\;n=2$. Now, assuming that  (2)  holds for an arbitrary  $n$ , we have  $x_{n+1}=x_n(1-nx_n)$  so from  $x_n>0\;and\;1-nx_n>0$  first it follow  $x_{n+1}>0$  and seconly $x_{n+1}=\frac{1}{n}[(nx_n)(1-nx_n)]\leqslant \frac{1}{4n}<\frac{1}{n+1}$. Hence  (2)  is true for  $n+1$.)

          Let  $y_n=\frac{1}{x_n}.$  The recurrence relation for  $\{x_n\}$  can be written—by changing the index to  $k$—as follows: 

$\frac{1}{y_{k+1}}=\frac{1}{y_n}\left (1-\frac{k}{y_k} \right )\;\Leftrightarrow\;y_{k+1}=\frac{y_k^2}{y_k-k}$ hence

$y_{k+1}-y_k=\frac{y_k^2}{y_k-k}-y_k=\frac{ky_k}{y_k-k}$

However, we have the inequality $\frac{ky_k}{y_k-k}>k$  (immediately equivalent to  $k^2> 0$), so

$y_{k+1}-y_k\geqslant k \;\;,\;k=1,\;2,\;3 \dots\tag{3}$

          Summing in  (3) , we obtain 

$$\sum_{k=1}^{n-1} [y_{k+1}-y_k]\geqslant \sum_{k=1}^{n-1}k\;\;\Leftrightarrow y_n-y_1\geqslant \frac{n(n-1)}{2}$$

so we have it even more

$y_n\geqslant \frac{n(n-1)}{2}\;\;\Leftrightarrow\;\;x_n\leqslant \frac{2}{n(n-1}$

          Therefore, the series with positive terms $x_n$ has a general term that satisfies the condition

$x_n\leqslant \frac{2}{n(n-1)}<\frac{3}{n^2}\;\;n\geqslant 3$ ;

since the series  $\sum \frac{1}{n^2}$  is convergent, it follows from the Direct Comparison Test that the series  $\sum x_n$  is convergent.

$\blacksquare$

          REMARK CiP  Here is the help provided by the AI :

 https://share.google/aimode/k01L9b57fE1ZhNtdR

Răspunsul a fost generat cu ajutorul AI. Acesta se bazează pe informații de pe web și din Knowledge Graph de la Google, o colecție de informații despre persoane, locații și lucruri. AI-ul generativ este în continuă dezvoltare și calitatea informațiilor poate varia. Pentru ajutor la evaluarea conținutului, accesează linkurile oferite. Află mai multe despre cum funcționează Modul AI...

 

          Being cheeky, I asked him to also provide a generalization by formulating the problem :

Under the same assumptions, determine the nature of the series :

$$\sum_{n=1}^\infty (x_n)^\alpha\;\;\; \alpha \in\mathbb{R}$$

 

Without delay, I received the following response : 

\begin{cases} \alpha \geqslant \frac{1}{2} \;\; the\;series\; is\; convergent\\ \alpha \leqslant 0\;or\;\alpha >\frac{1}{2}\;\;the\; series \;is \;divergent \end{cases}

<end REM>

3 6 5 de S E N T I M E N T E // 365 of FEELINGS

 Există totuși FRUMOS în lume

     

          Au trecut 365 de zile de când am întâlnit-o prima dată pe EA. Am avut ocazia să i-o spun direct.
Am o parte din discuția pe care am avut o atunci pe chat. Am mai pomenit și aici de asta... Fără permisiune ALINEI nu o mai pun și aici, o păstrez doar pentru mine, amintire (poate la împlinirea celui de-al doilea an...)

TE  IUBESC  ALINA

          Titlul l-am ales amintindu-mi că în primul an de Liceu la Timișoara am văzut o carte imensă , parcă ostentativ colorată cu poezii ale unui grec, cu titlul

 Iar ca Sentiment Un Cristal

... Nu mă interesa pe atunci așa ceva... Plăcerea de a citi poezii mi-a venit ulterior. Autorul este, un cunoscut probabil printre pricepuți, îl pomenesc aici din respect :  Odysseas Elytis

< REZUMAT  generat de AI >

„Iar ca sentiment un cristal” – Odată cu „Clima absenței” a lui Odisseas Elytis

„Iar ca sentiment un cristal” este o poezie a lui Odisseas Elytis, inclusă în antologia „Clima absenței” și publicată în română în volumul editat de Iordan Chimet, care aduce în limba română poezia și proza lui Elytis Versuri.ro+1.

Contextul și originea

Poezia apare în secțiunea a treia a poemului Clima absenței, tradusă de Victor Ivanovici Poetii Nostri. Este un fragment liric în care poetul descrie o stare de liniște și puritate emoțională, simbolizată de „sentimentul ca un cristal” – o imagine care sugerează claritate, frangibilitate și transparență.

Conținutul și tematica

În Clima absenței, Elytis explorează absența, singurătatea și memoria, cu imagini marine și naturale. Versul final al secțiunii III – „iar ca sentiment un cristal” – sintetizează această stare: o emoție pură, nealterată, care reflectă lumina și se frânge ușor, ca un cristal Versuri.ro+1.

Poezia este un exemplu al stilului elen modern: liric, simbolic, cu o limbă evocativă și o structură care îmbină realitatea fizică cu sentimentul interior.

Ediția în română

Volumul Odysseas Elytis – Iar ca sentiment un cristal (1980, Editura Dacia) este o antologie selectată și prezentată de Iordan Chimet, care include multiple poezii și texte ale lui Elytis, traduse în română Anticariat Online Logos+1. Ediția este un volum masiv, cu colaje color, desene și elemente grafice, având un tiraj mic și o prezentare artistică deosebită Anticariat Online.

Importanță literară

Această poezie este adesea citată în contextul temelor de absență, singurătate și puritate emoțională, fiind un exemplu de sinteză a liricii elene moderne traduse în română. Imaginarea „sentimentului ca un cristal” rămâne un motiv recurent în interpretările critice, simbolizând claritatea și frangibilitatea emoției trolo.ro.

Dacă doriți să citiți textul complet, puteți găsi Clima absenței în edițiile românești ale lui Odisseas Elytis, precum și în antologia Iar ca sentiment un cristal editată de Iordan Chimet Versuri.ro+1.

>>>

Oare ALTFEL înseamnă NICIUN FEL ?? // A CRUCIAL step in solving the problem : the ELIMINATION of the constant

 Am scris aici ce s-a întâmplat ieri , Vineri 16 Octombrie. Voiam să-i fac o surpriză dar se pare că mai mult am necăjit-o. Nici nu mi-a răspuns la ce i-am scris. Am făcut un prim pas pe care îl voiam altfel. 

Să trec mai bine la locul unde știu pașii mai bine...

I’d better move to the spot where I know the steps better.

A problem from GMB 1/1999, page 35 :

24043.  Consider the sequence  $(x_n)_{n\geqslant 0}$  defined as follows :

$x_0=0\;\;,\;\;x_1=\sqrt{2}\;\;,\;\;x_{n+1}=3x_n+\sqrt{8x_n^2+2}\;\;for\;n\in\mathbb{N}\;,\,n\geqslant 1.$

 Determine the general term $x_n$ of the sequence.

 {Author : } Alfred ECKSTEIN , Șiria, Arad

ANSWER CiP

$x_n=\frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{4}\;\;,\;n=0,\;1,\;2,\;\dots$

Solution CiP

               An initial calculation gives us  $x_2=6\sqrt{2}\;,\;x_3=35\sqrt{2}.$ Let us also note that $x_{n+1}>0$ (simple inductive reasoning : $x_1>0\;and\; x_n>0\Rightarrow x_{n+1}>0$) and that  $x_{n+1}>x_n$.

          Squaring the relation  $x_{n+1}-3x_n=\sqrt{8x_n^2+2}$  so

  $x_{n+1}^2-6x_{n+1}x_n+9x_n^2=8x_n^2+2$  we obtain

$x_{n+1}^2-6x_{n+1}x_n+x_n^2-\color{Red}2=0 \tag{1}$

The constant term  2  in (1)  somewhat complicates the calculations. To  ELIMINATE  it, we proceed as follows:

We write the equation  (1)  for  $n+1\; instead\; of\; n$ :

$x_{n+2}^2-6x_{n+2}x_{n+1}+x_{n+1}^2-\color{Red}2=0 \tag{2}$

Now we  SUBSTRACT  (2) - (1)  and we get :

$x_{n+2}^2-6x_{n+2}x_{n+1}+6x_{n+1}x_n-x_n^2=0\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;\;(x_{n+2}^2-x_n^2)-6x_{n+1}(x_{n+2}-x_n)=0\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;\;(x_{n+2}-x_n)(x_{n+2}+x_n-6x_{n+1})=0$

and since the sequence is increasing, the first parenthesis above cannot be zero, so it remains :

$x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n \tag{3}$

          But  (3)  is a second-order linear recurrence , which is handled in a known way. The equation

$\lambda^2=6\lambda -1$

has roots  $\lambda_{1,2}=3\pm 2\sqrt{2}$ , so the general term  $x_n$  is of the form

$x_n=A\cdot \lambda_1^n+B\cdot \lambda_2^n$

and the constants  $A\; and\; B$  are determined from the initial conditions. In our case

$x_0=A+B=0\;,\;x_1=A(3+2\sqrt{2})+B(3-2\sqrt{2})=\sqrt{2}\;\;\Rightarrow\;A=-B=-\frac{1}{4}$

We obtained the answer.

$\blacksquare$

          REMARK CiP  The idea is not new; see, for example 

ANDREESCU Titu, ANDRICA Dorin

360 Problems for Mathematical Contests

GIL Publishing House, Zalău, 2003

 Problem 47 on page 53—solved on pages 76–77—and the bibliographic sources cited there.

<end REM>

O C O R E C T A R E Necesară // A Necessary Correction

 CORECTAREA în ceea ce o privește pe EA 

este una din cele mai grele probleme. 

Vreau să mă raportez la EA altfel...

              Regarding problem  E : 17561, which was solved on the new blog, a few clarifications are in order.

First, for angle $\widehat{ ADC}$ to be  $45^{\circ}$ , $\hat{C}$  must be greater than  $45^{\circ}$ ; consequently,

$\hat{B}\leqslant 45^{\circ}$  , making the relationship  $AB = 2\cdot AC$ possible (see the figure above, with slightly modified notation).

     Secondly, the problem can be solved without relying on concepts regarding similarity, which are covered in the Romanian curriculum in the 7th grade.

(I redrew it at a more reasonable scale compared to the recently mentioned blog.)

 A solution suitable for the 6th-grade level can be provided.

      Thirdly, to avoid the concept of a parallelogram—which also belongs to the 7th-grade curriculum—we consider the following LEMMA; I would have liked to incorporate it into another   GEOMETRIC OBJECT , but as I mentioned, I have other, more difficult problems to deal with now.

         LEMMA  Let  $D$  be the midpoint of side  $AB$  of triangle  $ABC$ .

                      If the line through  $D$ parallel to line  $BC$  intersects side  $AC$  at point 

                      $E$ , then  $E$  is the midpoint of  $AC$ , and  $DE$  is half the length of  $BC$.

So, we have the Geometric Object        

      $\Delta ABC\;:$

$AD=DB \tag{1}$

$DE \parallel BC \tag{2}$

with the

                                  Properties :        $AE=EC\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$

$DE=\frac{BC}{2} \tag{4}$

From the hypothesis, we have the angle equalities (also marked in the figure) :

$\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\;\;\;,\;\;\;\widehat{AED}=\widehat{ACB}$

     Let  $EF \parallel AB\;\;,\;F\in BC.$

The following angle equalities result :

$\widehat{CEF}=\widehat{CAB} \tag{5}$

$\widehat{CFE}=\widehat{CBA} \tag{6}$

$\widehat {CFE}=\widehat {DEF}$     so

$\widehat{DEF}=\widehat{FBD} \tag{7}$

     If we join points  $D\; and\; F$ , then  $EF \parallel DB$  implies

$\widehat{DFE}=\widehat{BDF} \tag{8}$

     From  (8)  and  (7) , by the ASA case of triangle congruence, we have  $\Delta B\color{Magenta}{DF} \equiv \Delta E\color{Magenta}{FD}$  so

$BD=EF \tag{9}$

$DE=BF \tag{10}$

From  (9)  and  (1)  we have  $EF=AD$  and with  (5),(6)  we obtain - via ASA case - $\Delta CEF\equiv \Delta EAD$. Therefore

$AE=EC$  -  hence the conclusion  (3)

and  $DE=FC$. And further on, we have  $FC=DE\underset{(10)}{=}BF$  so 

$DE=\frac{BC}{2}$

that is, the conclusion  (4).

$\square$

A fost doar un vis // CANADA is not afraid of TRUMP

 Atenție, nu am scris "DOAR UN VIS", titlul NU se vrea o concluzie FINALĂ. Și e chiar azi, ziua pentru care EA...a pregătit niște șnițele (!)

<edit Duminica 11 OCT>  Atâta că, am visat din nou cu EA. Adormisem doar spre dimineață, imediat trebuia să mă scol și visul iar s-a întrerupt, fără să-l duc la capăt : Priveam din apartamentul meu de pe Mihai Viteazu spre Aleea Frații Buzești și vedeam o casă unde știam că locuiește ALINA. Era cu mine un tânar, care spunea că tot pe acolo locuiește. Atunci l-am întrebat dacă o știe pe Alina...M-am trezit însă brusc, fără să mai aud răspunsul lui. 

Dar, a fost doar un vis...

     But "let's get back to our beers" :  a Problem (page 369) from a Romanian living in CANADA

                    "E : 17580.  Let  $m, \;n \; and\; p$  be natural numbers, where  $p$  is not a

                perfect square. Show that the number

$ A=\sqrt{n+\sqrt{p}}+\sqrt{m-\sqrt{p}} \tag{1}$

                is rational if and only if  $m=n\;and\;p=4r^4-4r^2s$  , where  $r\;  and\; s$

                are natural numbers and  $r^2-s$  is not a perfect square.

{Author : } George STOICA, Canada"

SOLUTION  CiP

               Along with the number  $A$ , the number  $A^2$  is also rational. But

$A^2=(n+\sqrt{p})+(m-\sqrt{p})+2\sqrt{(n+\sqrt{p})(m-\sqrt{p})}$

$=n+m+2\sqrt{mn+\sqrt{p}(m-n)-p} \tag{2}$

The condition  

$mn+(m-n)\sqrt{p}-p=s^2\;,s\in\mathbb{Q} \tag{3}$

must hold so that the final expression in  (2)  is a rational number. However, since  $p\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ , this happens if and only if  $m=n$  and  $n^2-p=s^2$ , so

$p=n^2-s^2\;\;,\,s\in\mathbb{Q} \tag{4}$

      Using the formula for nested radicals, we have

$\sqrt{n\pm \sqrt{p}}=\sqrt{\frac{n+s}{2}}\pm\sqrt{\frac{n-s}{2}}$

so  $A=2\sqrt{\frac{n+s}{2}}$. For  $A\in\mathbb{Q}$  we must also have  $\frac{n+s}{2}=r^2\;,\;r\in\mathbb{Q}$. Hence

$n=2r^2-s\;\;,\;\;p\underset{(4)}{=}n^2-s^2=(2r^2-s)^2-s^2=4r^4-4r^2s\;\;,\;r\in\mathbb{Q} \tag{5}$

$p=4r^2(r^2-s)$  is not a perfect square if and only if  $r^2-s$  is not. We have found the formula :

$A=\sqrt{2r^2-s+2r\sqrt{r^2-s}}+\sqrt{2r^2-s-2r\sqrt{r^2-s}}=2r \tag{6}$

 which isn't exactly miraculous, because

$2r^2-s\pm 2r\sqrt{r^2-s}=(r^2\pm 2r\sqrt{r^2-s}+(r^2-s)=(r\pm\sqrt{r^2-s})^2$

      More interestingly, in formulas  (4)  and  (5) , we must have  $r\;,\;s\;\in\mathbb{N}.$ Indeed, let the conditions be satisfied for both  $ r\; and\; s$ :

$m=n=r^2+(r^2-s)\in\mathbb{N}\;,\;p=4r^2(r^2-s)\in\mathbb{N}$

We have a quadratic equation in the unknown  $r^2$

$4r^4-4r^2s-p=0$

Using the reduced discriminant

$\Delta_{r^2} '=s^2-p=a^2\;\;,\;a\in\mathbb{Q} \tag{7}$

we obtain  $r^2=\frac{2s\pm a}{4}=b^2\;,\;2s=4b^2\pm a$  so

$s=2b^2\pm \frac{a}{2} \tag{8}$

Next, we have  $m=n=b^2+b^2-s\underset{(8)}{=}2b^2-2b^2\pm \frac{a}{2}=\pm \frac{a}{2}$  Therefore

$a\in\mathbb{N}$ (even more, an even number)

and from  (7)  it follow  $s\in\mathbb{N}$. But now, from  (8)  we obtain  $2b^2\in\mathbb{N}$  so  $b\in\mathbb{N}.$

$\blacksquare$

Probleme ... cu ANAF-ul // What Happens When the IRS Suspects Tax Evasion?

 E bine daca mai pot inca glumi... Dar, CUM? de ai stiut tu, INGERE ca am avut treaba la ANAF ?? 

.

.Chiar mi-ar placea sa fiu un mic evazionist, sa fi TU politista care ma arestezi...

.

Fac in pripa aceasta postare sa ma mai eliberez de presiunea supararii ca marti nu m-am putut intelege deloc cu tine.... Ba chiat mi-ai adresat "ultimul cuvant"...

Pai, chiar am fost nu demult la ANAF

(nu stiu ce m-a impins sa imortalizez evenimentul). 

{edit 09.Oct}Daca tot m-ai

PROVOCAT

atunci hai sa-ti povestesc...
          Ne-am gandit, in urma cu vre-o sase ani, sa strangem niste bani ca sa facem cand vom iesi la pensie o 

CROAZIERA

Cu chiu cu vai am reusit sa strangem 240 000 LEI (ar fi ajuns de una mica, pe Dunare probabil)

      In ultimul meu an inainte de pensie (cam pe vremea Pandemiei) am luat jumatate din partea mea (120 000) si i-am "INVESTIT". Primii 30 000 s-au dovedit o investitie PAGUBOASA... 

     Atunci m-am hotarat ca restul sa-i investesc in ceva mai sigur, desi cu un PROFIT mai MIC : Titlurile de Stat pentru Populatie

TEZAUR

Am facut totul pe ASCUNS, fara sa stie sotia (bine, o parte i-am investit in FIDELIS, care cam tot dracul ala este). Cand am terminat partea mea din suma, a trebuit sa-i spun sotiei, avand nevoie de niste bani din partea ei pentru urmatoarea EMISIUNE. (Peste doua luni, cand era ziua ei chiar voiam sa-i spun de investitia facuta; n-a mai fost sa fie, a trebuit sa dezvalui mai devreme SECRETUL.)

      Sotia a inteles repede si a fost de acord.... DAR a aparut nevoia sa o ajutam pe fiica mea ALEXANDRA sa achite un avans la o locuinta pe care voia sa o cumpere, asa ca i-am dat tot RESTUL de bani ei.
      Incet, incet, intr-un an ne-am revenit, sotia a iesit si ea la PENSIE (dar visul nostru cu croaziera trebuie AMANAT, avand si probleme cu socrii mei, acum destul de in varsta. 

TREABA

MERGE

INAINTE

dar eu mai am inca de RECUPERAT o suma importanta, cu alte cheltuieli NESABUITE ale mele am ajuns la o DATORIE inca de vre-o 40 000 Lei. 
       N-as vrea sa-i marturisesc inca sotiei despre PASIUNEA pe care am facut-o pentru

TINE

ca ar crede ca o parte din banii pierduti au fost din cauza ta. Si...

NU VREAU

SA TE ACUZE

pe TINE

nimeni de nimic...

        Asa ca,

DA

AM AVUT

TREABA la A N A F

           Imagini de arhiva...

PRIMA subscriere la programul TEZAUR ; 23 NOI 2021

.

(sus si jos : ultima RETRAGERE a dobanzii incasate pana acum)

.Ultimul EXTRAS de CONT de la TREZORERIE : am rulat vre-o 47 000 anul acesta

.Detinerile de-a lungul timpului...Suma FINALA investita este de 200 000 Lei, inca insuficient sa recuperez toata suma pe care am avut-o initial

(pana aici, in IUNIE 2025, am recuperat 170 000 Lei)

< continuare >

< gata ; mergem cu asta INAINTE >

DAR cu TINE ??