Inteligența sau Iubirea Artificială // Artificial Intelligence or Artificial Love /// O veche Problemă de la un NOU CONCURS // An Old Problem from a NEW CONTEST

 Poate așa s-au frământat oamenii și la apariția Curentului Electric în locuințe. Cum e mai bine : Dragoste la lumânare sau la bec ? Orice iubire trebuie să înceapă pe lumină. Când fierbințeala trupurilor ajuge la extaz, cu un suflu puteai stinge lumânarea, sau o puteai lăsa să vă vegheze. Pentru bec trebuie să te dezlipești de ființa iubită și să mergi la întrerupător.

<

Perhaps people wrestled with the same question when electricity first arrived in homes: which is better—making love by candlelight or by the light of a bulb? Any romance should begin in the light. When the heat of your bodies reaches a state of ecstasy, you can simply blow out the candle—or let it keep watch over you. With a light bulb, however, you have to pull yourself away from your beloved to go and flip the switch.

>

          La timpul ei nu am reușit să rezolv problema. Eram în perioada premergătoare începerii anului 1 de facultate. Am revăzut-o azi și n-am avut nici acum inspirația necesară. Noroc că m-au ajutat Inteligențele artificiale, cum au făcut o aici și aici, și aici, asta doar în ultimele câteva zile. În curând ne vor lua locul... De fapt am pățit să fie nevoie de Dragoste amestecată cu Tehnologia Avansată...

<

Back then, I couldn't manage to solve the problem. It was just before I started my first year of university. I revisited it today, but I still lacked the necessary insight. Luckily, Artificial Intelligence came to my aid—just as it did here, and here, all within the last few days alone. Before long, it will take our place... As it happens, what was needed here was a blend of Love and Advanced Technology...

>

          On page 5 of the magazine mentioned in the title, we find the problem :

     "C : 5.  Let $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}^*}$  be a sequence  $x_{n+1}=x_n-nx_n^2$ , for 

 $n\in\mathbb{N}^* \;,\;x_1\in (0,1)$.  Show that the series 

$$\sum_{n=1}^\infty x_n$$

                                      is convergent.

{ Author: }  L. Panaitopol"

SOLUTION  CiP  adapted from AI

               From inequality

$z(1-z)\leqslant \frac{1}{4} \tag{1}$

($\Leftrightarrow (1-2z)^2\geqslant 0$)  and the condition  $0<x_1<1$ it follow that  $0<x_1(1-x_1)=x_1-x_1^2=x_2\leqslant \frac{1}{4}$ —or, in a weaker sense, $0<x_2<\frac{1}{2}$—holds.

By mathematical induction, it then follows that 
$0<x_n<\frac{1}{n} \tag{2}$

ljljljljl