TESTE pentru EVALUAREA NATIONALA 2020

---

Ministerul Educației și Cercetării a publicat un prim set de resurse de antrenament pentru elevii care vor susține examenele naționale [1]

Data publicării: 

Luni, 30 Martie, 2020

În contextul suspendării cursurilor, pentru pregătirea elevilor în vederea susținerii examenelor naționale, Ministerul Educației și Cercetării a publicat un prim set de resurse de antrenament pentru elevii care vor susține examenele naționale [2].

Resursele de antrenament tip test, realizate împreună cu Centrul Național de Evaluare și Examinare, respectă modelul subiectului de examen. Obiectivul acestora este acela de a exersa în această săptămână și de a continua efortul în vederea obținerii unor rezultate bune la viitoarele examene.

Baremele de evaluare și de notare vor fi publicate pe același site, vineri, 3 aprilie 2020. Rolul acestora este de autoevaluare și calibrare a modului în care au fost redactate răspunsurile.

Totodată, în cadrul emisiunilor Teleșcoala [3] vor fi prezentate unele soluții ale acestor teste de antrenament, cu explicațiile necesare pentru a înțelege cât mai bine răspunsurile din baremele de evaluare și de notare.

An Inequality in a Book - Sự bất bình đẳng trong một cuốn sách

You can read the book here

You can download it directly from here.
                                 
             Usually the first problem in a book is easier. Look at it

An algebraic solution I did not find despite the obvious geometric meaning.
Here is the picture with the solution in the book.

True, she is beautiful............

          
            We present below the geometrical meaning of the problem. 
    
           The equation 

(1)                                        $9x^{2}+8xy+7y^{2}=6$

 represent an ellipse; thanks to $GEOGEBRA$ she looks like this

You can see in the image above the point $A(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ that belongs to the ellipse (drawn a little clumsy). The center of this ellipse still remain origin $O(0;0)$ but the axes are the lines $y=\frac{\sqrt{17}-1}{4}x$ , $y=-\frac{\sqrt{17}+1}{4}x$ as will be seen in a later image.
         
         The inequality given in the statement $9a^{2}+8ab+7b^{2} \leqslant 6$ says about the point $M(a:b)$ it is inside the ellipse (1).

          The equation

(2)                                             $7x+5y+12xy=9$

reprezent a hyperbola with asymptotes $y=-\frac{7}{12}$ and $x=-\frac{5}{12}$, as shown below and point $A(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ also belongs to her.

           It is important that the point $A(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ belongs to both conics but crucial is that these conics are tangent at $A$  (and both at line $13x+11y=12$); see the image below

         Now, inequality $7a+5b+12ab \leqslant 9$ says that point $M(a;b)$ is outer the branches of hyperbola which is (geometrically) obvious.

$ \blacksquare$

         I hope that through these we have dismantled the mechanism that made this kind of problems to appear.
                                                      GOOD  LOCK !

TELEȘC8ALĂ PROBLEMA 2 (Temă) - pentru clasa a VIII-a

Lecția 5 PIRAMIDA PATRULATERĂ REGULATĂ

Vezi lecția aici.






     Enunțul  Problemei 2     Piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu latura bazei 
                                        egală cu $18\;cm$ și ${ {\it \it A_{l}}}=540\;cm^{2}$. Determinați:
                                     a) volumul piramidei;
                                     b) tangenta unghiului format de o muchie laterală cu planul
                                          bazei;
                                     c) distanța de la centul bazei la o muchie laterală.

Răspuns CP : a) $1296\;cm^{3}$ ; b) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ ; c) $\frac{18\sqrt{34}}{17}\;cm$.

 Rezolvare CP

     a) Cu formula $A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$ și datele problemei obținem, înlocuind valorile date:

$540=\frac{4 \cdot 18 \cdot a_{p}}{2}$

sau $38 \cdot a{p}=540$ și rezultă $a_{p}=540:36=15$, deci

$VM=a_{p}=15 \;cm$.

În cazul pătratului $ABCD$ avem $OM=a_{b}=\frac{l_{4}}{2}=18:2$, deci

$OM=a_{b}=9\;cm$.

Din formula $h^{2}+a_{b}^{2}=a_{p}^{2}$ deducem $h^{2}=a_{p}^{2}-a_{b}^{2}=15^{2}-9^{2}=225-81=144$; atunci $h=\sqrt{144}$, adică
 

$VO=h=12\; cm$.

Calculăm ${V}=\frac{{A}_{b} \cdot h}{3}=\frac{l^{2} \cdot h}{3}=\frac{18^2 \cdot 12}{3}=1296 \;cm^{3}$.

       b) Din $proj_{ABC}\;V\;=O$ și $proj_{ABC}\;A=A$ rezultă că proiecția  segmentului $[VA]$ pe planul $(ABC)$ este $proj_{ABC}[VA]=OA$.

 Atunci unghiul format de muchia $VA$ cu planul bazei $(ABC)$ este $\angle VAO$.
Dar, în pătratul $ABCD$ avem $AO=R=R_{4}=\frac{l_{4}\sqrt{2}}{2}=\frac{18\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$. 
Rezultă $tg\widehat{ABC}=\frac{c_{o}}{c_{a}}=\frac {VO}{AO}=\frac{12}{9\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

   c) 

     Construim în triunghiul dreptunghic$VAO$, cu unghiul drept în vârful $O$

$OE\; \perp\;VA$   $\Rightarrow$   $OE=d(O;VA)=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ip}$    ca înalțime pe ipotenuză, 

deci calculând întâi

 $VA=\sqrt{VO^{2}+OA^{2}}=\sqrt{12^{2}+(9\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{144+81\cdot 2}=\sqrt{306}=3\sqrt{34}$, obținem

$d(O;VA)=\frac{VO\cdot OA}{VA}=\frac{12\cdot 9\sqrt{2}}{\sqrt{306}}=\frac{18\sqrt{34}}{17}$.

$\blacksquare$

Ă Â Î Ș Ț  ă â î ș ț

TELEȘCOALĂ PROBLEMA 4 (Temă) - pentru clasa a VIII-a

Lecția 3  Probleme rezolvate algebric cu ajutorul sistemelor de ecuații

Vezi lecția aici.

Enunțul problemei 4          Raportul a două numere naturale este $\frac{2}{3}$ iar suma dintre 

dublul numărului mai mic și numărul mai mare este $140$.

                                               Aflați cele două numere.

Răspuns CP :  Numerele sunt $40$ și $60$.

 Rezolvare CP

     Notăm cu $n$ și $N$ cele două numere căutate, notație făcută asfel încât $n <N$.
Afirmația " raportul a două numere naturale" se poate exprima prin

 $\frac{n}{N}$  sau  $\frac{N}{n}$.

 Dar știind că acest raport " este $\frac{2}{3}$ " deci $<1$ alegem prima dintre exprimări, deoarece $n<N$. Așadar prima condiție care se obține din enunț este

 (1)                             $\frac{n}{N}=\frac{2}{3}$.

Mărimea "dublul numărului mai mic" reprezintă $2n$

deci "suma dintre dublul numărului mai mic și numărul mai mare este $140$"
se exprimă prin condiția

  (2)                                $2n+N=140$.

     Cu relațiile (1) si (2) formăm sistemul
(3)     $\begin{cases}
& \frac{n}{N}=\frac{2}{3}\\
& 2n+N=140
\end{cases}$
 a cărui rezolvare conduce la găsirea răspunsului la problemă.
      Avem (rezolvăm cu metoda substituției)
(3) $\Leftrightarrow$   $\begin{cases}               
                                      & n=\frac{2N}{3}\\
                                      & 2n+N=140
                                    \end{cases}$  $\Leftrightarrow$
 $\;\;\;\;\;\Leftrightarrow$   $\begin{cases}               
                                      & n=\frac{2N}{3}\\
                                      & \frac{4N}{3}+N=140 \; \;\;\;\;   \ |\ast3 (pentru\; eliminarea\; numitorului)

                                    \end{cases}$  $\Leftrightarrow$
$\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow$ $\begin{cases}               
                                      & n=\frac{2N}{3}\\
                                      & 4N+3N=420
                                    \end{cases}$  $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}                                                      & n=\frac{2N}{3}\\
                                      & 7N=420 \;\;\;\; \mid \;\;\div\;\;7
                                    \end{cases}$  $\Leftrightarrow$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$\Leftrightarrow$ $\begin{cases}               
                                      &N=60\\
                                     & n=\frac{2N}{3}\\                                    
                                    \end{cases}$  $\Leftrightarrow$$\begin{cases}                                                      &N=60\\
                                     & n=\frac{120}{3}\\                                    
                                    \end{cases}$$\Leftrightarrow$$\begin{cases}                                                      &n=40\\
                                     & N=60\\                                    
                                    \end{cases}$.
     Am obținut răspunsul.
     Verificarea soluției găsite este imediată:

$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$- prin simplificarea cu $20$,   iar    $2 \cdot 40+60=80+60=140$.

$\blacksquare$

OLIMPIADA SATELOR din RO Etapa Judeteana 2020 SATU MARE

Gasiti AICI Subiectele si Baremele pentru clasele 4-8
Subiectele s-au dat la nivel NATIONAL (pentru o descarcare comuna)