TELEȘCOALĂ PROBLEMA 4 (Temă) - pentru clasa a VIII-a

Lecția 3  Probleme rezolvate algebric cu ajutorul sistemelor de ecuații

Vezi lecția aici.

Enunțul problemei 4          Raportul a două numere naturale este $\frac{2}{3}$ iar suma dintre 

dublul numărului mai mic și numărul mai mare este $140$.

                                               Aflați cele două numere.

Răspuns CP :  Numerele sunt $40$ și $60$.

 Rezolvare CP

     Notăm cu $n$ și $N$ cele două numere căutate, notație făcută asfel încât $n <N$.
Afirmația " raportul a două numere naturale" se poate exprima prin

 $\frac{n}{N}$  sau  $\frac{N}{n}$.

 Dar știind că acest raport " este $\frac{2}{3}$ " deci $<1$ alegem prima dintre exprimări, deoarece $n<N$. Așadar prima condiție care se obține din enunț este

 (1)                             $\frac{n}{N}=\frac{2}{3}$.

Mărimea "dublul numărului mai mic" reprezintă $2n$

deci "suma dintre dublul numărului mai mic și numărul mai mare este $140$"
se exprimă prin condiția

  (2)                                $2n+N=140$.

     Cu relațiile (1) si (2) formăm sistemul
(3)     $\begin{cases} & \frac{n}{N}=\frac{2}{3}\\ & 2n+N=140 \end{cases}$
 a cărui rezolvare conduce la găsirea răspunsului la problemă.
      Avem (rezolvăm cu metoda substituției)
(3) $\Leftrightarrow$   $\begin{cases}                                                      & n=\frac{2N}{3}\\                                       & 2n+N=140                                     \end{cases}$  $\Leftrightarrow$
 $\;\;\;\;\;\Leftrightarrow$   $\begin{cases}                                                      & n=\frac{2N}{3}\\                                       & \frac{4N}{3}+N=140 \; \;\;\;\;   \ |\ast3 (pentru\; eliminarea\; numitorului)                                     \end{cases}$  $\Leftrightarrow$
$\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow$ $\begin{cases}                                                      & n=\frac{2N}{3}\\                                       & 4N+3N=420                                     \end{cases}$  $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}                                                      & n=\frac{2N}{3}\\                                       & 7N=420 \;\;\;\; \mid \;\;\div\;\;7                                     \end{cases}$  $\Leftrightarrow$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$\Leftrightarrow$ $\begin{cases}                                                      &N=60\\                                      & n=\frac{2N}{3}\\                                                                         \end{cases}$  $\Leftrightarrow$$\begin{cases}                                                      &N=60\\                                      & n=\frac{120}{3}\\                                                                         \end{cases}$$\Leftrightarrow$$\begin{cases}                                                      &n=40\\                                      & N=60\\                                                                         \end{cases}$.
     Am obținut răspunsul.
     Verificarea soluției găsite este imediată:

$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$- prin simplificarea cu $20$,   iar    $2 \cdot 40+60=80+60=140$.

$\blacksquare$