Lecția 3 Probleme rezolvate algebric cu ajutorul sistemelor de ecuații
Vezi lecția aici.
Enunțul problemei 4 Raportul a două numere naturale este $\frac{2}{3}$ iar suma dintre
dublul numărului mai mic și numărul mai mare este $140$.
Aflați cele două numere.
Răspuns CP : Numerele sunt $40$ și $60$.
Rezolvare CP
Notăm cu $n$ și $N$ cele două numere căutate, notație făcută asfel încât $n <N$.
Afirmația " raportul a două numere naturale" se poate exprima prin
$\frac{n}{N}$ sau $\frac{N}{n}$.
Dar știind că acest raport " este $\frac{2}{3}$ " deci $<1$ alegem prima dintre exprimări, deoarece $n<N$. Așadar prima condiție care se obține din enunț este
(1) $\frac{n}{N}=\frac{2}{3}$.
Mărimea "dublul numărului mai mic" reprezintă $2n$
deci "suma dintre dublul numărului mai mic și numărul mai mare este $140$"se exprimă prin condiția
(2) $2n+N=140$.
Cu relațiile (1) si (2) formăm sistemul(3) $\begin{cases}
& \frac{n}{N}=\frac{2}{3}\\
& 2n+N=140
\end{cases}$
a cărui rezolvare conduce la găsirea răspunsului la problemă.
Avem (rezolvăm cu metoda substituției)
(3) $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}
& n=\frac{2N}{3}\\
& 2n+N=140
\end{cases}$ $\Leftrightarrow$
$\;\;\;\;\;\Leftrightarrow$ $\begin{cases}
& n=\frac{2N}{3}\\
& \frac{4N}{3}+N=140 \; \;\;\;\; \ |\ast3 (pentru\; eliminarea\; numitorului)
\end{cases}$ $\Leftrightarrow$
$\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow$ $\begin{cases}
& n=\frac{2N}{3}\\
& 4N+3N=420
\end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{cases} & n=\frac{2N}{3}\\
& 7N=420 \;\;\;\; \mid \;\;\div\;\;7
\end{cases}$ $\Leftrightarrow$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$\Leftrightarrow$ $\begin{cases}
&N=60\\
& n=\frac{2N}{3}\\
\end{cases}$ $\Leftrightarrow$$\begin{cases} &N=60\\
& n=\frac{120}{3}\\
\end{cases}$$\Leftrightarrow$$\begin{cases} &n=40\\
& N=60\\
\end{cases}$.
Am obținut răspunsul.
Verificarea soluției găsite este imediată:
$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$- prin simplificarea cu $20$, iar $2 \cdot 40+60=80+60=140$.
$\blacksquare$
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu