TELEȘC8ALĂ PROBLEMA 2 (Temă) - pentru clasa a VIII-a

Lecția 5 PIRAMIDA PATRULATERĂ REGULATĂ

Vezi lecția aici.






     Enunțul  Problemei 2     Piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu latura bazei 
                                        egală cu $18\;cm$ și ${ {\it \it A_{l}}}=540\;cm^{2}$. Determinați:
                                     a) volumul piramidei;
                                     b) tangenta unghiului format de o muchie laterală cu planul
                                          bazei;
                                     c) distanța de la centul bazei la o muchie laterală.

Răspuns CP : a) $1296\;cm^{3}$ ; b) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ ; c) $\frac{18\sqrt{34}}{17}\;cm$.

 Rezolvare CP

     a) Cu formula $A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$ și datele problemei obținem, înlocuind valorile date:

$540=\frac{4 \cdot 18 \cdot a_{p}}{2}$

sau $38 \cdot a{p}=540$ și rezultă $a_{p}=540:36=15$, deci

$VM=a_{p}=15 \;cm$.

În cazul pătratului $ABCD$ avem $OM=a_{b}=\frac{l_{4}}{2}=18:2$, deci

$OM=a_{b}=9\;cm$.

Din formula $h^{2}+a_{b}^{2}=a_{p}^{2}$ deducem $h^{2}=a_{p}^{2}-a_{b}^{2}=15^{2}-9^{2}=225-81=144$; atunci $h=\sqrt{144}$, adică
 

$VO=h=12\; cm$.

Calculăm ${V}=\frac{{A}_{b} \cdot h}{3}=\frac{l^{2} \cdot h}{3}=\frac{18^2 \cdot 12}{3}=1296 \;cm^{3}$.

       b) Din $proj_{ABC}\;V\;=O$ și $proj_{ABC}\;A=A$ rezultă că proiecția  segmentului $[VA]$ pe planul $(ABC)$ este $proj_{ABC}[VA]=OA$.

 Atunci unghiul format de muchia $VA$ cu planul bazei $(ABC)$ este $\angle VAO$.
Dar, în pătratul $ABCD$ avem $AO=R=R_{4}=\frac{l_{4}\sqrt{2}}{2}=\frac{18\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$. 
Rezultă $tg\widehat{ABC}=\frac{c_{o}}{c_{a}}=\frac {VO}{AO}=\frac{12}{9\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

   c) 

     Construim în triunghiul dreptunghic$VAO$, cu unghiul drept în vârful $O$

$OE\; \perp\;VA$   $\Rightarrow$   $OE=d(O;VA)=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ip}$    ca înalțime pe ipotenuză, 

deci calculând întâi

 $VA=\sqrt{VO^{2}+OA^{2}}=\sqrt{12^{2}+(9\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{144+81\cdot 2}=\sqrt{306}=3\sqrt{34}$, obținem

$d(O;VA)=\frac{VO\cdot OA}{VA}=\frac{12\cdot 9\sqrt{2}}{\sqrt{306}}=\frac{18\sqrt{34}}{17}$.

$\blacksquare$

Ă Â Î Ș Ț  ă â î ș ț