O ... R E S T A N Ț Ă ... în așteptare // Problem C:19 from the GMB 3/1980 magazine

De ce ? să fi mereu pe LOCUL al DOILEA ?? // Why always settle for SECOND PLACE ??

 M-am gândit mult la asta... 

Rămâne valabil ce am spus 

AICI

Și, deocamdată, nu mai postez la vedere nimic nou, 

văzând că și de pe acest BLOG

 ȚI-AI LUAT MÂNA

Ai intrat odată pe chat cu nickul  Rituals... Am hoinărit puțin prin PROMENADA Mall SIBIU... Mă gândeam că ți-am dat o întâlnire aici... Îmi închipuiam că mergeam ținându-te de mână (mi-ar fi plăcut mult asta) sau în cel mai rău caz ținându-mă TU de braț...

Și am dat de asta...

amintindu-mi de acel nick al tău... Pe vitrină ets scris un mesaj....

PESTE TOT SUNT SEMNE CU TINE  !!

....Iar prin Mall am întâlnit-o pe  DANIELA RĂCHIȚAN , o fostă colegă și ea de matematică, de la Academia Forțelor Terestre.... Mai demult ne îmbrățișam și ne pupam când ne întâlneam...Acum, parcă se grăbea... Iar la ieșire m-am intersectat, dar doar ne-am salutat, cu o colegă cu care am lucrat un an la NOCRICH, Poeta RITA...

      De fapt o altfel de postare am vrut să fac...Am plecat de acasă fără nicio țintă,

 doar când am văzut cele de mai jos gândul m-a dus să fac una despre MINCIUNĂ...

.

 Dar nu ar fi avut legătură cu EA. Absolut niciuna... (Titlul de azi are o altă explicație...)

 Mi-am amintit că, în clasa a 5 a fiind am publicat o povestire în Revista Școlii de la LIPOVA, și am primit recompensă vreo zece exemplare să le împart cui vreau. Unul l-am dat bunicilor, care m-au și recompensat generos... Ulterior găsind la bunici acel exemplar, am citit în acel număr al revistei și un interesant articol-eseu despre podurile din Europa care au denumirea de Podul Minciunilor.... Făcut de un elev de la Liceu, fără Inteligența Artificială (era în anul 1972 )

CUM poți PIERDE o PRIETENĂ DRAGĂ // HOW you can LOSE a DEAR FRIEND, and a joke about how you can lose ALL YOUR FRIENDS

 Și ziceai că o iubești...

          EA a avut o infinită răbdare cu mine...

          Eu m-am purtat, puțin spus, ca un măgar.

          Deși îmi era tot timpul dor de EA, când ne întâlneam pe chat dădeam dovadă de prostie. N-aș putea spune că am neglijat-o, și ea cunoștea restricțiile la care sunt supus din cauza situației mele.

Am ajuns să o cunosc destul de bine, trup și suflet la un loc... Îmi pare că este ca o martiră. Vreau să ajung cumva să îi spun asta.

Hai să încerc să îmi revin... Într-un fel, exact asta am pățit și eu. Interesant "sloganul"

How to become a math professor in one weekend: start with a proof, end with no friends.

.

Iar soția merge, ca in fiecare zi de marți și vineri până la ATLASSIB...(sau ce-a mai rămas din el)

(cu VW de culoare albă)

Problem of the Day

"C : 2138. (page 138)  If $x, \;y,\; z\;\in (0,\;\infty)$   prove that

$\frac{x+y+z}{2}\geqslant \frac{xy}{xy+1}+\frac{yz}{yz+1}+\frac{zx}{zx+1}.$

                                                 When does equality hold? 

{Author : } Dragoș CONSTANTINESCU, Rm. Vâlcea "

ANSWER CiP

$"="\;\;if\;\;\;x=y=z=1$

                                  Solution CiP

               We have the inequality

$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\;\;\;a,\;b\geqslant 0\;\;,\;\;"="\Leftrightarrow a=b \tag{1}$

(from  $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqslant 0\;,\;"="\Leftrightarrow a=b\;\;\;\Rightarrow a+b-2\sqrt{ab}\geqslant 0\;\;etc$)

So

$x+y\geqslant 2\sqrt{xy} \tag{2}$

and putting into  (1)  $a=xy\;,\;b=1$

$xy+1\geqslant 2\sqrt{xy}\tag{3}$

Multiplying  (2) and (3)  we obtain  $(x+y)(xy+1)\geqslant 4xy$

$\Rightarrow \frac{x+y}{4}\geqslant \frac{xy}{xy+1} \tag{4}$

Equality holds in  (4)  if and only if  $x=y\;and\;xy=1$  so $x=y=1.$

     Similarly, we have  $\frac{y+z}{4}\geqslant \frac{yz}{yz+1}\;,\;\frac{z+x}{4}\geqslant \frac{zx}{zx+1}$.  Adding  (4)  and these two, we obtain the inequality stated in the problem.

Equality holds if and only if  $x=y=z=1.$

$\blacksquare$

CEREREA unui om BLOCAT : Prima DORINȚĂ // And with this PICTURE , the Problem is SOLVED

 Mi-aș fi dorit că măcar urarea (și nu e doar așa, convențională, este din suflet) să aibă 

EFECT RETROACTIV  !

(Simt că de data aceasta m-ai blocat cu ură ; din rațiuni practice, aș înțelege că așa e mai bine... Dar, și aici te cunosc destul de bine, tu nu urăști... Și atunci ?? ... In orice caz, ar fi bine să mă deblochezi de curiozitate, să vezi dacă am scris ceva, și nu "de nevoie") Totuși

TE VREAU VIE

                 Until then, I solved this problem—also with a photograph.

ANSWER CiP

$(E)\;\;\;\frac{81}{256}\approx 0.32$

                             Solution CiP

           Since the two photos are proportional rectangles,

 we have

$\frac{a}{b}=\frac{x}{a}$

so  $x=\frac{a^2}{b}$ ; therefore, the area occupied by the photo in portrait orientation is

$a\cdot x=\frac{a^3}{b}.$  Of the entire   $a\cdot b$  area screen, the portion occupied by the photograph is

$\frac{a\cdot x}{a\cdot b}=\frac{x}{b}=\frac{\frac{a^2}{b}}{b}=\frac{a^2}{b^2}=\left (\frac{a}{b}\right )^2=\frac{81}{256}$

So the answer is  (E).

$\blacksquare$

NU - ai răspuns TU // A problem that has "haunted" me for a week, around the time of H A L L O W E E N

 Am făcut o prostie

Și un lucru bun

Pentru prostie m-ai certat

Laudă-mă pentru lucrul bun

PROSTIA, pentru care ai fost nevoită să mă pui la punct pe "URGENȚE" (acel "spatiu" a fost până acum unul al SINCERITĂȚII, te rog să nu-l înnegrim cu vorbe de ocară)...

.... a fost că am intrat la tine în privat, după ce am șovăit puțin, și te-am salutat cu bucurie. Mi-ai răspuns amabil, chiar m-ai întrebat ce este cu acel "DA"... N-am avut răgazul să-ți explic totul, trebuia să vină și soția acasă, iar conexiunea la net era "obosită". N-am mai stat să îți explic toate după palma pe care mi-ai aplicat-o pe Wthspp. Am pus doar CONCLUZIA mea :

Dar TU ești pentru mine o LUMINĂ 🌟🌟🌟

 Poate prea orbitoare...

Lucrul BUN...oh, NU ESTE CE TE AȘTEPTAI... Oprind temporar routerul (aveam de trimis și la ANAF raportul ZILNIC de la Cassa de Marcat) mi-am aruncat ochii pe o problemă de geometrie care m-a bântuit toată săptămâna... Am văzut, deodată calea pe care să merg și mi-a reușit chiar rezolvarea.... Concentrat la aceasta, nici n-am mai observat cum trece TIMPUL.

  IARTA-MĂ  ÎNGERE !!

 

    "S : E26.243.  In an isosceles triangle  $ABC\;,\; where\; AB = AC$ ,

 point  $D$  is the midpoint of side  $BC$ , and  $M$  is the midpoint of segment  $AD$.

        Point  $N$  is the foot of the perpendicular $from \; D\;  to\; BM$ . Show that

        $\measuredangle {ANC}=90^{\circ}$.

{Author : } Victor FELECAN, Focșani "

ANSWER CiP  (see the figure below)

$\Delta AMN \sim\Delta CDN$

                    

                                 SOLUTION CiP

We will demonstrate the similarity of the triangles, as stated in the Answer.

          If we denote  $x^{\circ}:=\widehat{MBD}=\widehat{MCD}$  thenf   $\measuredangle {BMD}$  is the supplement of  $\measuredangle {DBM}$  in the right-angled triangle  $BDM$ , and at the same time, in the right-angled triangle  $DMN$ , it is the supplement of  $\measuredangle {MDN}$ . So  $\widehat{MDN}=x^{\circ}$ . It follow that

$\measuredangle {AMN}\equiv \measuredangle{CDN} \tag{1}$

both having an angle measure of  $90^{\circ}+x^{\circ}$ : the first, as an exterior angle of triangle $BDM$ , while the second is obvious.

     In the right-angled triangle  $CDM$ , we have

$\tan x^{\circ}=\tan \widehat{DCM}=\frac{MD}{CD}=\frac{AM}{CD} \tag{2}$

and in the right-angled triangle  $DMN$

$\tan x^{\circ}=\tan\widehat{MDN}=\frac{MN}{DN}\tag{3}$

We see from  (2)  and  (3)  that  $\frac{AM}{CD}=\frac{MN}{DN}$ so we have the proportionalities of the segments

$AM\;\;,\;\;MN\;\;\;\sim\;\;\;CD\;\;,\;\;DN \tag{4}$

          From  (1)  and  (4) , by the SAS similarity criterion , the relationship in the  ANSWER follows. Then  $\measuredangle{ANM}\equiv\measuredangle{DNM}=90^{\circ}.$

$\blacksquare$

RĂSPUNSUL meu este DA ! // My ANSWER is YES ! and I would like YOU to ANSWER one for me as well

 D A  !!

* * * 

În ce  DATĂ  este   ZIUA TA  ???

*   *   *   *

          The Problem below also has the same answer

< obtained through the kindness of 

𝐒𝐫𝐢𝐧𝐢𝐯𝐚𝐬𝐚 𝐑𝐚𝐠𝐡𝐚𝐯𝐚

 >

based on an original idea

Și R E S T U L contează !! // When the REMAINDER matters // Amikor a MARADÉK számít

 I can split you in two—your soul on one side

 and your body on the other—and 

there will still be something left over.

Beauty draws you in. You try to get closer, to discover it better—if only it would let itself be discovered.

          Today we are solving two problems concerning the division of natural numbers with a remainder.

 "E : 17601.  The sum of two natural numbers is 1$00$ , and the quotient obtained

 when dividing the larger number by the smaller one is  $ 4$. Find the two numbers.

{ Authors : } Doina STOICA and Mircea Mario STOICA, Arad."

"E : 17603.  In the division with remainder of two natural numbers, the dividend

     is  $2026$  and the quotient is  $11$. Find the maximum possible value of the

     remainder.

{Author: } Liliana NICULESCU, Târgu Mureș"

ANSWER CiP

E:17601  -  80 and 20   ;  80 : 20 = 4 (remainer 0)

                   81 and 19   ;  81 : 19 = 4  ,  remainer 5

                   82 and 18   ;  82 : 18 = 4  ,  remainder 10

                   83 and 17   ;   83 : 17 = 4  , remainder 15

E:17603 -                        167   ;    2026 : 169 = 11  , remainder  167

                              Solution CiP

                 E:17601 Let  $a\geqslant b$  be the numbers. 

$a:b=4\;, remainder\;r\;\Rightarrow\;a=4\cdot b+r\;;and\;\;0\leqslant r <b$

But  $100=a+b=(4b+r)+b=5b+r\;\;\Rightarrow\;\;r=100-5b$.  From

$0\leqslant 100-5b<b\;\;\Rightarrow\;\;b\leqslant \frac{100}{5}=20\;and\;b>\frac{100}{6}=16,66...$

so  $b\in\{17,\;18,\;19,\;20\}.$  We obtain the answer.

$\blacksquare$

                 E:17603  Let $b$ and $r$ be the divisor and the remainder of the division, respectively. We have

$2026\;=\;11\cdot b+r\;\;,\;\;0\leqslant r<b$

From  $r=2026-11\cdot b$  and the conditions  $0\leqslant 2026-11b<b$  it follows that

$b\leqslant \frac{2026}{11}=184,18...\;\;and\;\;b>\frac{2026}{12}=168,83...$

The maximum value of  $r=2026-11b$  corresponds to the minimum value of  $b$ , so

$r_{max}=2026-11\cdot 169=167$

$\blacksquare\;\blacksquare$