Atenție, nu am scris "DOAR UN VIS", titlul NU se vrea o concluzie FINALĂ. Și e chiar azi, ziua pentru care EA...a pregătit niște șnițele (!)
<edit Duminica 11 OCT> Atâta că, am visat din nou cu EA. Adormisem doar spre dimineață, imediat trebuia să mă scol și visul iar s-a întrerupt, fără să-l duc la capăt : Priveam din apartamentul meu de pe Mihai Viteazu spre Aleea Frații Buzești și vedeam o casă unde știam că locuiește ALINA. Era cu mine un tânar, care spunea că tot pe acolo locuiește. Atunci l-am întrebat dacă o știe pe Alina...M-am trezit însă brusc, fără să mai aud răspunsul lui.
Dar, a fost doar un vis...
But "let's get back to our beers" : a Problem (page 369) from a Romanian living in CANADA
"E : 17580. Let $m, \;n \; and\; p$ be natural numbers, where $p$ is not a
perfect square. Show that the number
$ A=\sqrt{n+\sqrt{p}}+\sqrt{m-\sqrt{p}} \tag{1}$
is rational if and only if $m=n\;and\;p=4r^4-4r^2s$ , where $r\; and\; s$
are natural numbers and $r^2-s$ is not a perfect square.
{Author : } George STOICA, Canada"
SOLUTION CiP
Along with the number $A$ , the number $A^2$ is also rational. But
$A^2=(n+\sqrt{p})+(m-\sqrt{p})+2\sqrt{(n+\sqrt{p})(m-\sqrt{p})}$
$=n+m+2\sqrt{mn+\sqrt{p}(m-n)-p} \tag{2}$
The condition
$mn+(m-n)\sqrt{p}-p=s^2\;,s\in\mathbb{Q} \tag{3}$
must hold so that the final expression in (2) is a rational number. However, since $p\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ , this happens if and only if $m=n$ and $n^2-p=s^2$ , so
$p=n^2-s^2\;\;,\,s\in\mathbb{Q} \tag{4}$
Using the formula for nested radicals, we have
$\sqrt{n\pm \sqrt{p}}=\sqrt{\frac{n+s}{2}}\pm\sqrt{\frac{n-s}{2}}$
so $A=2\sqrt{\frac{n+s}{2}}$. For $A\in\mathbb{Q}$ we must also have $\frac{n+s}{2}=r^2\;,\;r\in\mathbb{Q}$. Hence
$n=2r^2-s\;\;,\;\;p\underset{(4)}{=}n^2-s^2=(2r^2-s)^2-s^2=4r^4-4r^2s\;\;,\;r\in\mathbb{Q} \tag{5}$
$p=4r^2(r^2-s)$ is not a perfect square if and only if $r^2-s$ is not. We have found the formula :
$A=\sqrt{2r^2-s+2r\sqrt{r^2-s}}+\sqrt{2r^2-s-2r\sqrt{r^2-s}}=2r \tag{6}$
which isn't exactly miraculous, because
$2r^2-s\pm 2r\sqrt{r^2-s}=(r^2\pm 2r\sqrt{r^2-s}+(r^2-s)=(r\pm\sqrt{r^2-s})^2$
More interestingly, in formulas (4) and (5) , we must have $r\;,\;s\;\in\mathbb{N}.$ Indeed, let the conditions be satisfied for both $ r\; and\; s$ :
$m=n=r^2+(r^2-s)\in\mathbb{N}\;,\;p=4r^2(r^2-s)\in\mathbb{N}$
We have a quadratic equation in the unknown $r^2$
$4r^4-4r^2s-p=0$
Using the reduced discriminant
$\Delta_{r^2} '=s^2-p=a^2\;\;,\;a\in\mathbb{Q} \tag{7}$
we obtain $r^2=\frac{2s\pm a}{4}=b^2\;,\;2s=4b^2\pm a$ so
$s=2b^2\pm \frac{a}{2} \tag{8}$
Next, we have $m=n=b^2+b^2-s\underset{(8)}{=}2b^2-2b^2\pm \frac{a}{2}=\pm \frac{a}{2}$ Therefore
and from (7) it follow $s\in\mathbb{N}$. But now, from (8) we obtain $2b^2\in\mathbb{N}$ so $b\in\mathbb{N}.$
$\blacksquare$
