BurLy also looking for "sanda" // "Gazeta Matematica" magazine, series B

 M-am pomenit aseară că și  "BurLy"  a auzit de  "sanda" , dar nu mai știa dacă nu cumva e... sandra...

Although I said I wouldn't get emotionally involved again when leafing through old magazines from my youth, here I cannot help but note the following.

1.  Complete Algebraic Identities

          On page 357, within the solution to  Problem 24444, the identity is mentioned without any proof or commentary :

$a^3+b^3+c^3+d^3-3(abc+abd+acd+bcd)=$

$=(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad-bc-bc-cd) \tag{1}$

Let's explain a little. The following identity is well known :

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \tag{2}$

We are trying to see if we have a  complete identity  of form :

$\sum a^3-\sum abc=(\sum a)\cdot (\sum a^2-\sum ab) \tag{3}$

Let us consider the polynomial involving the four letters  $a,\;b,\;c\;and\;d$

$P(a,b,c,d):=[\;a^3+b^3+c^3+d^3-3(abc+abd+acd+bcd)\;]-$

$-[\;(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad-bc-bc-cd)\;]$

We have, for  $d=0$ ,

  $P(a,b,c,0)=[\sum a^3-3abc]-[(\sum a)(\sum a^2-\sum ab)]\underset{(2)}{=}0$

(Above, the sums $\sum$  extend to three letters.)

Therefore, the polynomial  $P$ is divisible by  $d$ , and by symmetry, it is also divisible by  $a$, $b$, and $c$, and thus by their product :

$P(a,b,c,d)=abcd\cdot Q(a,b,c,d) \tag{4}$

However, on the left-hand side of the equation  (4) , the degree of the polynomial is three, whereas on the right-hand side,  $abcd$  is of degree four. Therefore, in the equation  (4) $Q$  must be identically zero. This is how we find the identity  (1).

     So, we have seen that the identity  (3)  holds for four letters. If we add a fifth letter,  $e$, then the identity remains valid, in the same form. This is the meaning of the word "complete" mentioned earlier. The reasoning is the same :

$P_1(a,b,c,d,e):=[\sum a^3-3\sum abc]-[(\sum a)(\sum a^2-\sum ab)]_{e=0}\;\overset {(3)}{\underset{for\;a,b,c,d}{=}}\;0$

So  $P_1$  is divisible by  $e$ , therefore, by symmetry, it is also divisible by  $a,\; b,\; c,\; and \;d$. But in the writing

$P_1(a,b,c,d,e)=abcde\cdot Q_q(a,b,c,d,e)$

comparing the degrees of the two polynomials leads to the conclusion that  $Q1$  is identically zero.

           The fact that the formula  (3)  holds for any number of letters is expressed by some authors by stating that "the identity  (3)  is saturated, starting with three letters." However, the term "saturated" is not widely used. See

MIHĂILEANU N.[N.] Complemente de algebră elementară (Ed. Didactică și Pedagogică,

București, 1968)

<end 1.>

2.   Titu's Lemma  (revived)

(to continue)dew

hjjkjk

R Ă P I R E A din Aleea FRAȚII BUZEȘTI

 Oricâți OPERATORI și oricâți DJ`s

 de pe chat vor să mi te răpească,

 o parte din TINE rămâne numai a mea : 

RÂSUL TĂU DINTRE BLOCURI. 

Te rog frumos, dă-mi voie să-l aud din nou...

DUMINICILE ABANDONATE // Abandoned Sundays

 Am mai postat cum este  CU  E A   și  FĂRĂ  E A

Acelea păreau ca niște glume...Deși azi la ora 12:35 am văzut-o, simt în suflet un gol imens. I-am promis că nu mai intru cu alt nick, dar zilele trecute am intrat puțin cu "albastru" iar ea a aflat... Ce credibilitate mai pot avea ??

     Azi este o zi în care mă simt ABANDONAT . Ieri seara am intrat pe chat, chipurile să mă relaxez... "sanda" era acolo, dadea "!like" (chiar si-a pus intr-o doara nickul "sandaculike"), invita si era invitata la "!dans" ... Am incercat sa o imit, am rugat o cunostinta de pe chat sa facem la fel, ceea ce a acceptat... dar parca nu aveam chef de nimic... Mult mai tarziu a intrat si vechea mea prietena "sea", cu care am vorbit putin...

    Am văzut azi pe "sanda" in jurul orei 12:30... Atat am stat, exact să o văd... CÂND vom mai avea ocazia să mai si VORBIM ??

    N-am să mai intru decât să o caut zilnic, poate îmi mai astâmpăr dorul de EA... Și, poate voi ține ascuns de ochii lumii un timp acest blog....

TE IUBESC  !!

< ultima editare : Marti 15 Sep 2026 >

Prezența EI pe chat :

14.09.   sanda@WwW.ChatApropo.Ro/-85C5CC68.hosted-by-worldstream.net

IP-urile in ordine alfabetică :

sanda@WwW.ChatApropo.Ro/-85C5CC68.hosted-by-worldstream.net  [14.09]

I U B I R E A , F E R I C I R E A , C Ă U T A R E A // The Lost Notebook of Another Ramanujan

 IUBIREA ESTE TOT CEEA CE CONTEAZĂ

Love is all that matters  -  sună ca dracu'...

THE SEARCH

In the summer before starting my first year of university in the autumn, I found this problem in the magazine below (page 358).

"O : 71.  Let  $n\in\mathbb{N}^*$ . Show that there exist

  $r\in\mathbb{N}^*\;and\;a_1,\;a_2,\;\dots a_r,\;b_1,\;b_2,\;\dots b_r\in\mathbb{Q}$  such that

$\sqrt{n}=a_1\sin b_1\pi +a_2 \sin b_2\pi+\dots+a_r \sin b_r\pi.$

{Author : } Marcel ȚENA, teacher, Alexandria (Prize-winning problem at the SSM competition)"

          The author will subsequently publish a solution using the Kronecker-Weber theorem.

I saw something special in this problem, just as, later on, I saw something special in Alina.

Not long ago, I came across some scribbled pages containing an attempt to solve this problem.

LOVE

Among the pages I found, I also came across two letters that Christina, my future wife, had sent me.

.

Eight days later, we got married in Sibiu.

.

.

THE SEARCH - 2

          I picked up a notebook for scribbles, to which I gave a pompous title :

We start with the formulas from Exercise 5.

(b)  $\sqrt{n}=2^{n-1}\cdot \sin \frac{\pi}{2n}\cdot \sin \frac{2\pi}{2n}\cdot \dots \cdot \sin \frac{(n-1)\pi}{2n} \tag{1}$

Using the formulas for transforming trigonometric products into sums

 results in an expression :

$\sqrt{n}=a_1\cdot \sin \{or\;\cos\} b_1\pi+\dots +a_r\cdot \sin\{or\;\cos\}b_r\pi$

Whenever a cosine appears, it can be transformed into a sine using the complementary angle formula:

$\cos b\pi=\sin \left (\frac{\pi}{2}-b\pi\right )$

Then we finally obtain the desired writing of the  $\sqrt{n}$.

$\blacksquare$

LOVE  &  SEARCH

          The results obtained were surprising. We are including a few sheets showing the results and calculations.

.

.

.

Wait, what is this strange paper with holes along the edge?

          This is the point I wanted to reach—the word *Felix*, which means happiness.

That’s how we worked back then—using Felix C-generation computers and dot-matrix printers... I was left with stacks of paper from the many projects I worked on during university (in Fortran, Assiris, and Cobol), and I used the backs of the sheets to sketch out calculations.

Ah, and now, another moment of nostalgia—this one quite recent. That is exactly how a conversation with Alina began—about "buffers" and logic diagrams...

< End Of Love>

THE SEARCH  3

          Especially in the case of prime numbers  $n$ , the formula seemed to have a distinctive structure.

The formula seemed linked to cyclotomic polynomials, as I had initially thought, but then certain Legendre symbols appeared to be involved...

     I thought I would hit the jackpot by going all the way to solving Fermat's Last Theorem. 

     Much later, I learned that Gauss had already obtained such formulas....

Next, I add all the old sheets I have left, without any particular order... And, indeed,

  THE SEARCH is sometimes more important than the result.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

THE END

Unora NU le place Jazzul : Nimeni nu e perfect // Some Like It Hot : "Well, nobody's perfect!"

 Eram spre sfârșitul clasei a VIIIa când a fost acest film la TV... A doua zi, de dimineața, s-a dat în reluare și am chiulit cu toții să-l (re)vedem : avea școala un club, cu o masă de biliard, un TV, o sală de repetiții pentru serbări. Acolo ne-am strâns, mai veneau din când în când și niște profesori, cool pe vremea aceea, dar stăteau numai pe timpul pauzei....

Azi, în lipsă de inspirație, mergând cu soția să cumpărăm niște cărti de la Libraria Erasmus (pentru meditațiile ei), ne-am abătut prin Piața Schiller, unde are loc un concert de Jazz zilele acestea. Eram cu gândul tot la cea pe care o consider perfectă....Din umilință, nu-mi mai permit să-i rostesc numele...Sunt nevrednic...

.scena 

.afisul, undeva in oras

Uite cui nu-i place Jazzul ; prefera mai bine zona de "street-food"

.

.

.

Cum ? Să FI mai F E R I C I T ?? // The inequality called TITU ANDREESCU's Lemma

 I-auzi ce zice doamna :

„Nu dopamina este dușmanul. Problema apare când ne organizăm viața în jurul recompensei permanente”

Concluzia (ei) : Soluția nu este să eliminăm dopamina din viețile noastre, ci  << să învățăm din nou să tolerăm așteptarea, efortul, plictiseala și „durerea potrivită” și să nu transformăm fiecare moment al vieții într-o căutare a recompensei. >>

Și eu caut să repet ceea ce mi-a adus odată plăcere... Dar, prin unele le lucruri care le fac, am impresia că provoc altora durere... 

And I'm looking to repeat what once brought me pleasure...

page 305 :

    "E : 12200.  If  $x,y\in (0\;,\;+\infty)$ , prove that                    

 $\frac{4}{x}+\frac{9}{y}\geqslant \frac{25}{x+y} \tag{E}$

 {Authors : } Daniel FEHER, Sebeș, Alba and Aurel DOBOȘAN, Lugoj"

ANSWER  CiP

$"="\;\Leftrightarrow\;x=2\cdot t\;,\;y=3\cdot t\;\;,\;t>0\;-\;real\;number$

                                      Solution CiP

          From

  $\frac{4}{x}+\frac{9}{y}-\frac{25}{x+y}=\frac{4y(x+y)+9x(x+y)-25xy}{xy(x+y)}=\frac{4xy+4y^2+9x^2-25xy}{xy(x+y)}=\frac{9x^2-12xy+4y^2}{xy(x+y)}=\frac{(3x-2y)^2}{xy(x+y)}\geqslant 0$

We have  $"="\Leftrightarrow3x-2y=0\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$.  We get the answer.

$\blacksquare$

          REMARKS CiP

               1. The inequality takes the form

$\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{y}\geqslant \frac{(2+3)^2}{x+y}$

In this form, it is known as Titu's Lemma. In reality, his surname is Andreescu; Titu is his first name.

<end REM>