ÎN SFÂRȘIT TE-AM VĂZUT // FINALLY, I SAW YOU

 Azi la ora  [17:28] am intrat pe chat și , după câteva secunde, te-am văzut...

de fapt am vazut

sanda@4090DF07.9E8A8388.1728E65C.IP

un IP pe care nu l-am mai întâlnit la tine. Ultima dată îmi amintesc că te-am văzut sâmbătă seara [07.noi], cu un IP pe care l-am mai întâlnit în [13. aug] 

sanda@C90F44BA.EF38AC66.49B569A7.IP [13.08]

(în lunile Julie, August și Septembrie aveam posibilitatea să caut zilnic...acum comanda "!seen" e nefuncțională...). Ai rămas conectată toata noaptea.... A doua zi, duminica la ora [14:36] te-am văzut cu IP-ul din august

sanda@B6D202EE.FBAC8A6E.287A7CDA.IP  [20.08]

(voiam, după ce termin treaba, să-mi fac curajul să intru să vorbesc cu tine...dar

NU  MAI ERAI

și nici nu te-am mai văzut de atunci).

Nici nu mai știu câte tentative am avut să-ți scriu (și să-mi  R Ă S P U N Z I ) în ultima vreme.

Rămân numai cu DORUL de TINE...

Îmi LIPSEȘTI . Mi-e DOR de TINE // Problem C:34

 De atâta timp nu te-am mai văzut...

"C:34.  Consider polynomials  

$P(x)=2x^2+ax+b\; and\;Q(x)=x^2+cx+d\;;\;a,\;b,\;c,\;d\in\mathbb{R}$ 

 such that  $a^2+c^2+4d\leqslant 2ac+4b$. Show that if  $P(x)$  has real roots,

             then  $Q(x)$  also has real roots. Is the converse true?

{Author : } Costache CIOTLAȘ, teacher, Comănești, Bacău"

ANSWER CiP

The converse statement is NOT true : $a=3,\;b=3,\;c=3,\;d=2$ 

 satisfies the condition  $a^2+c^2+4d=26<30=2ac+4b$ , $Q(x)=x^2+3x+2$  has the roots  $-1\; and\;-2$ ,

 but  $P(x)=2x^2+3x+3$  has no real roots, as its discriminant is $-15<0.$

                                       Solution CiP

               If  $P(x)$  has real roots, then its discriminant is

$\Delta_P=a^2-4\cdot 2\cdot b=a^2-8b\geqslant 0 \tag{1}$

Polynomial  $Q(x)$  has discriminant  $\Delta_Q=c^2-4d$.

But  $-4d\geqslant a^2+c^2-2ac-4b\;\Rightarrow \Delta_Q\geqslant c^2+a^2+c^2-2ac-4b=$

$=a^2-2ac+2c^2-4b=\left (\frac{a^2}{2}-2ac+2c^2 \right )+\left ( \frac{a^2}{2}-4b\right )=$

$=\frac{(a-2c)^2}{2}+\frac{a^2-8}{2}=\frac{(a-2c)^2}{2}+\frac{\Delta_P}{2}\underset{(1)}{\geqslant} 0$

so  $Q(x)$  has real roots too.

$\blacksquare$

GÂNDUL la TINE , nu la PROSTII // Panaitopol’s Maria Elena Problem....

 Îmi vin năvalnic gânduri despre TINE... 

Nici NU vreau să le opresc... 

Vreau să știu   CE MAI FACI  ???

In the meantime, let’s try to turn these thoughts aside...

"O.G:282. Prove that for all real numbers  $a,\;b,\;c\;\geqslant 2\;$ the following

                        inequalities hold :

1)  $3abc\geqslant2(ab+bc+ac)\geqslant 4(a+b+c)\;;$

2)  $(ab+c)(bc+a)(ca+b)\geqslant (a+b+c)^3\;.$

{Author : } Maria Elena PANAITOPOL, Bucharest"

ANSWER CiP

The sign  $"="$   holds everywhere if and only if  $a=b=c=2.$

                                 Solution CiP

               $a,\;b,\;c\;\geqslant 2\;\Rightarrow\;a-2,\;b-2,\;c-2\geqslant 0$  So

$ab(c-2)+bc(a-2)+ca(b-2)\geqslant 0 \tag{1}$

$\Rightarrow\;(abc-2ab)+(cab-2bc)+(cab-2ca)\geqslant 0\;\Rightarrow$

$\Rightarrow\;3abc\geqslant 2(ab+bc+ca) \tag{2}$

Then we have

$2a(b-2)+2b(c-2)+2c(a-2)\geqslant 0\;\Rightarrow \;2(ab+bc+ca)\geqslant 4(a+b+c) \tag{3}$

(2)  and  (3)  demonstrate  1). "=" - sign  iff  there is equality in both  (2)  and  (3) —that is, when  $a-2=b-2=c-2=0$.

              We have  $a-1,\;b-1,\;c-1\geqslant 1$.  So  $(a-1)(b-1)\geqslant 1\;\Rightarrow$

$ab\geqslant a+b\;\Rightarrow$

$ab+c\geqslant a+b+c\;,\;and\;similar\;\;bc+a\geqslant b+c+a\;,\;ca+b\geqslant c+a+b $

Multiplying the three inequalities, we obtain  2).  "=" - sign  iff  $a-1=b-1=c-1=1.$

$\blacksquare$

O ... EROARE ... regretabilă // And a magazine... without an ERRATA

 Dintr-o regretabilă eroare, informația prezentată aici nu este adevărată. A fost o asemănare de IP-uri. EA nu a intrat niciodată cu nickul "Rituals".

I was about to write that 

there is nothing to say here, nothing to do.

 Suddenly, on pages 166–167,

 I see the problem statements from the entrance examinations for the Faculties of Mathematics and Mechanics, held in July 1979.

 It was with those very problems that I got into university in Timișoara. I placed 5th in the entrance exam, following three days of testing during which I received two scores of 10 and one of 9.25, for an average of 9.75.

TREI...DORINȚE de Duminică - neîmplinite . Sper ca TU să fi avut o zi mai bună !! // GOOD JOKE—though today I’m setting aside other considerations—calculations can wait—because the longing for YOU has been too great

 NU le spun aici...

Poate vei zice că sunt prea multe...

DOUĂ am voie ??

...prea multe pretenții...

Sper ca măcar dreptul la  ULTIMA DORINȚĂ  să îl am ; 

pe urmă mă poți omorî cu  TĂCEREA TA :

Îmi asum dreptul de a o formula pe asta. Dacă n-ai fost de acord cu 3 (și e dreptul tău să decizi), acum trec peste tine și o strig aici. La asta NU renunț :

 ÎȚI DORESC SĂ AI

 O SĂPTĂMÂNĂ CARE URMEAZĂ

 CÂT MAI BUNĂ  !!!

Cum ziceam, îmi place să te știu  VIE ... Să-mi povestești orice din ce ai făcut, să-ți povestesc și eu ceva.... Cu voie bună... (poate când ai de bătut șnițele să-mi zici mai bine...altceva)

GLUMA asta mi a mai îndulcit ziua

CE ? ÎMI RĂMÂNE de FĂCUT ?? // WHAT ? IS LEFT FOR ME TO DO ??

Ultimul mesaj pe care i l-am trimis pe Whatsapp nu i-a mai parvenit, fiindcă mi-a  BLOCAT  numărul. Era important pentru mine ca  EA  să știe și  ACELE  lucruri... Mâine va fi o săptămână.... Așa că nu îmi rămâne decât, în primul rând 

SĂ O

 IUBESC

oriunde s-ar afla

Și, după cum o prietenă dragă a mea zicea, spun și eu  : 
 Rămân doar cu  DORUL de TINE  și cu MATEMATICA mea... (mai mult scanări ale unor texte)

Ca BULĂ la easybox Șelimbăr, incurcând adresa mea cu Mihai VITEAZU nr 15 din Șelimbăr

O ... R E S T A N Ț Ă .... în așteptare // Problem C:19 from the GMB 3/1980 magazine

^^^^ Click pe cuvantul din titlu "RESTANTA"  ^^^^^

"C : 19.  If, in a triangle, the area is equal to the product of the segments 

                             determined on a side by the point of tangency of the incircle,              

                             then the triangle is a right-angled triangle.

{Author : } I. BOSTAN, teacher, Urziceni"

ANSWER CiP

The side in question is the hypotenuse of the right-angled triangle.

                              Solution CiP

               If the sides of the triangle are  $AB=c,\;BC=a,\;AC=b\;$ , then the inscribed circle determines segments on each side, the lengths of which are indicated in the figure below ; $p:=\frac{a+b+c}{2}.$

  Since the tangents from a point to a circle are equal, we have  $AF=AE:=x,\;BD=BF:=y,\;CD=CE:=z$ so

$y+z=a\;,\;\;x+z=b\;,\;\;x+y=c\;\Rightarrow x+y+x=p$  ant then

  $x+a=y+b=z+c=p\Rightarrow x=p-a\;,\;y=p-b\;,\;z=p-c.$

          From Heron's formula and the condition given in the problem statement, we have

$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=(p-b)(p-c)$

$\Leftrightarrow\;\;p(p-a)=(p-b)(p-c)\Leftrightarrow p^2-ap=p^2-(b+c)p+bc$

$\Leftrightarrow p(b+c-a)=bc\Leftrightarrow (a+b+c)(b+c-a)=2bc\Leftrightarrow (b+c)^2-a^2=2bc$

$\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2\Leftrightarrow \widehat{BAC}=90^{\circ}$

$\blacksquare$