NU - ai răspuns TU // A problem that has "haunted" me for a week, around the time of H A L L O W E E N

 Am făcut o prostie

Și un lucru bun

Pentru prostie m-ai certat

Laudă-mă pentru lucrul bun

PROSTIA, pentru care ai fost nevoită să mă pui la punct pe "URGENȚE" (acel "spatiu" a fost până acum unul al SINCERITĂȚII, te rog să nu-l înnegrim cu vorbe de ocară)...

.... a fost că am intrat la tine în privat, după ce am șovăit puțin, și te-am salutat cu bucurie. Mi-ai răspuns amabil, chiar m-ai întrebat ce este cu acel "DA"... N-am avut răgazul să-ți explic totul, trebuia să vină și soția acasă, iar conexiunea la net era "obosită". N-am mai stat să îți explic toate după palma pe care mi-ai aplicat-o pe Wthspp. Am pus doar CONCLUZIA mea :

Dar TU ești pentru mine o LUMINĂ 🌟🌟🌟

 Poate prea orbitoare...

Lucrul BUN...oh, NU ESTE CE TE AȘTEPTAI... Oprind temporar routerul (aveam de trimis și la ANAF raportul ZILNIC de la Cassa de Marcat) mi-am aruncat ochii pe o problemă de geometrie care m-a bântuit toată săptămâna... Am văzut, deodată calea pe care să merg și mi-a reușit chiar rezolvarea.... Concentrat la aceasta, nici n-am mai observat cum trece TIMPUL.

  IARTA-MĂ  ÎNGERE !!

 

    "S : E26.243.  In an isosceles triangle  $ABC\;,\; where\; AB = AC$ ,

 point  $D$  is the midpoint of side  $BC$ , and  $M$  is the midpoint of segment  $AD$.

        Point  $N$  is the foot of the perpendicular $from \; D\;  to\; BM$ . Show that

        $\measuredangle {ANC}=90^{\circ}$.

{Author : } Victor FELECAN, Focșani "

ANSWER CiP  (see the figure below)

$\Delta AMN \sim\Delta CDN$

                    

                                 SOLUTION CiP

We will demonstrate the similarity of the triangles, as stated in the Answer.

(to continue)

RĂSPUNSUL meu este DA ! // My ANSWER is YES ! and I would like YOU to ANSWER one for me as well

 D A  !!

* * * 

În ce  DATĂ  este   ZIUA TA  ???

*   *   *   *

          The Problem below also has the same answer

< obtained through the kindness of 

𝐒𝐫𝐢𝐧𝐢𝐯𝐚𝐬𝐚 𝐑𝐚𝐠𝐡𝐚𝐯𝐚

 >

based on an original idea

Și R E S T U L contează !! // When the REMAINDER matters // Amikor a MARADÉK számít

 I can split you in two—your soul on one side

 and your body on the other—and 

there will still be something left over.

Beauty draws you in. You try to get closer, to discover it better—if only it would let itself be discovered.

          Today we are solving two problems concerning the division of natural numbers with a remainder.

 "E : 17601.  The sum of two natural numbers is 1$00$ , and the quotient obtained

 when dividing the larger number by the smaller one is  $ 4$. Find the two numbers.

{ Authors : } Doina STOICA and Mircea Mario STOICA, Arad."

"E : 17603.  In the division with remainder of two natural numbers, the dividend

     is  $2026$  and the quotient is  $11$. Find the maximum possible value of the

     remainder.

{Author: } Liliana NICULESCU, Târgu Mureș"

ANSWER CiP

E:17601  -  80 and 20   ;  80 : 20 = 4 (remainer 0)

                   81 and 19   ;  81 : 19 = 4  ,  remainer 5

                   82 and 18   ;  82 : 18 = 4  ,  remainder 10

                   83 and 17   ;   83 : 17 = 4  , remainder 15

E:17603 -                        167   ;    2026 : 169 = 11  , remainder  167

                              Solution CiP

                 E:17601 Let  $a\geqslant b$  be the numbers. 

$a:b=4\;, remainder\;r\;\Rightarrow\;a=4\cdot b+r\;;and\;\;0\leqslant r <b$

But  $100=a+b=(4b+r)+b=5b+r\;\;\Rightarrow\;\;r=100-5b$.  From

$0\leqslant 100-5b<b\;\;\Rightarrow\;\;b\leqslant \frac{100}{5}=20\;and\;b>\frac{100}{6}=16,66...$

so  $b\in\{17,\;18,\;19,\;20\}.$  We obtain the answer.

$\blacksquare$

                 E:17603  Let $b$ and $r$ be the divisor and the remainder of the division, respectively. We have

$2026\;=\;11\cdot b+r\;\;,\;\;0\leqslant r<b$

From  $r=2026-11\cdot b$  and the conditions  $0\leqslant 2026-11b<b$  it follows that

$b\leqslant \frac{2026}{11}=184,18...\;\;and\;\;b>\frac{2026}{12}=168,83...$

The maximum value of  $r=2026-11b$  corresponds to the minimum value of  $b$ , so

$r_{max}=2026-11\cdot 169=167$

$\blacksquare\;\blacksquare$

LUMEA în M I Ș C A R E vs S T A T U L , și o Călătorie la MEDIAȘ // The WORLD in MOTION vs. THE REST — and a Journey to MEDIAȘ // Three Almost TRIVIAL Problems

           Am făcut o călătorie la Mediaș, orașul copilăriei soției, pentru niște mici cumpărături. Vreme așa și șa, se prognoza cam ploaie dar am scăpat...

...și mâncatul de rigoare...

.

.

Pe masă am ...nelipsita carte...

azi un Autor inedit : Bogdan SUCEAVĂ.

         Altfel, lumea este în mișcare...

Soția, mergând spre ATLASSIB, de două ori pe săptămână, marțea și vinerea

sau

la M/edicul de/ F/amilie/

(numai eu stiu care este ea, urcand in Autobuz)

Iar eu

S T A U

dar am un  SUFLET DRAG  pentru care merita sa traiesc...(care este pe Locul 2, dupa sotie...)

și îmi umplu timpul cu tot felul de Probleme...

    "S : E26.250.  Let $a,\;b,\;c\;$ be positive real numbers such that  

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{1}{a+b+c+2}$. 

                              Prove that  $\frac{\sqrt{abc+1}}{a+b+c+1}$  is a natural number.

{ Autor : } Ion NEAȚĂ, Slatina "

ANSWER CiP

$\frac{\sqrt{abc+1}}{a+b+c+1}=1$

                                 Solution CiP

               The given equation is written out step by step

$\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a+b+c+2}\;\Rightarrow\;abc=(a+b+c)(a+b+c+2)\;\Rightarrow$

$\Rightarrow\;abc+1=(a+b+c)^2+2(a+b+c)+1\;\Rightarrow\;abc+1=(a+b+c+1)^2\Rightarrow$

$\underset{a,\;b,\;c>0}{\Rightarrow}\;\sqrt{abc+1}=a+b+c+1\;\;\Rightarrow\;\;\frac{\sqrt{abc+1}}{a+b+c+1}=1\in\mathbb{N}$

$\blacksquare$

"S : L26.245.  Let $a,\;b,\;c\;\in\mathbb{R}^*\;$ with  $a+b+c=0$. Show that

$\frac{1}{-a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2-b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=0.$

{No Author}"

                                  Solution CiP

                    The denominators are, under the given conditions, different from zero. Indeed,

$-a^2+b^2+c^2=-(-b-c)^2+b^2+c^2=-2bc\neq 0$

and the analogous expressions. Then

$\frac{1}{-a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2-b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ca}+\frac{1}{-2ab}=$

$=\frac{1}{2}\cdot \left ( \frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab} \right )=-\frac{1}{2}\cdot \frac{a+b+c}{abc}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{0}{abc}=0.$

$\blacksquare\;\;\blacksquare$

"S: L26.254.  Prove that the equation 

$(x-1)(y-1)=\sqrt[3]{z}(x+y-\sqrt[3]{z})$

 has infinitely many solutions in the set of natural numbers.

{Author : } Traian TĂMÂIAN, Carei"

ANSWER CiP

$x=y=2k^2-2k+1\;\;,\;z=8k^6\;or\;z=8(k-1)^6\;\;\;,\;k\in\mathbb{N}$

For example, some particular solutions are

$(1,\;1,\;8)\;,\;(5,\;5,\;8)\;,\;(5,\;5,\;2^9)\;,\;(13,\;13,\;2^9)\;,\;(13,\;13,\;8\cdot 3^6)$

Solution CiP

                    Let  $z=u^3$ , for which the equation is written as

  $(x-1)(y-1)=u(x+y-u)\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;\;u^2-u(x+y)+(x-1)(y-1)=0 \tag{1}$

The discriminant of the equation  (1)  with the unknown  $u$  is

$\Delta_u=(x+y)^2-4(x-1)(y-1)=(x^2+2xy+y^2)-4(xy-x-y+1)=$

$=(x-y)^2+4(x+y-1)$

          Let's try to find solutions where  $x=y$.  Then  $\Delta_u=4(2x-1)$ , and for this to be a perfect square, we impose the condition

$2x-1=(2k-1)^2\;\;,\;k\in\mathbb{N} \tag{2}$

from which we obtain

$x=y=2k^2-2k+1 \tag{3}$

By virtue of  (2)  the solutions of the equation  (1)  will be

$u_{1,2}=\frac{x+y \pm2(2k-1)}{2}=x\pm(2k-1)\underset{(3)}{=}2k^2-2k+1\pm(2k-1)$

that is  $u_1=2k^2\;\;,\;\;u_2=2k^2-2k+2=2(k-1)^2.$  from which it follows that

$z_1=8k^6\;\;,\;\;z_2=8(k-1)^6 \tag{4}$

     Both values  (4) , together with  (3) , satisfy the equation :

$(i)\;\;(x-1)(y-1)=(2k^2-2k)^2=4k^2(k-1)^2$

$\sqrt[3]{z}(x+y-\sqrt[3]{z})=2k^2(4k^2-4k+2-2k^2)=4k^2(k^2-2k+1)=4k^2(k-1)^2$

$(ii)\;\;\sqrt[3]{z}(x+y-\sqrt[3]{z})=2(k-1)^2[4k^2-4k+2-2(k-1)^2]=$

$=2(k-1)^2(4k^2-4k+2-2k^2+4k-2)=2(k-1)^2\cdot 2k^2$

$\blacksquare\;\;\blacksquare\;\;\blacksquare$

ÎNĂLȚAREA // ASCENSION

 Cum ?  ar fi să ajungi până la cer  ??

Oh, eu știu UN ÎNGER aici pe Pământ... Îi dedic poezia de la sfârșit.

          The photo shows the raising of the Christmas tree in the Great Square (Piața Mare) in Sibiu.

(iar in drum spre casa am intalnit o fosta eleva din APOLDU de SUS, Denisa GAGEA)

And now, the poem, from Ramona BUMBAC

Am să te cresc

Am să te cresc când cerul se-ncovoaie

Să te ating cu-a norilor păcat

Vreau să te joc în zilele cu ploaie

Când soarele de nori s-a spânzurat

Vreau să te scald ascuns sub o umbrelă

Să gust dulceața ta pe-un curcubeu

Și să-ți pictez iubirea-n acuarelă.

S-o pot topi la tine-n decolteu

Să simt că ard, cum arde focu-n sobă,

În versurile sfinte m-am pierdut

Când tocul meu cotroboie prin tolbă.

Mă simt stingher, cerându-ți un sărut

Un diamant, ce taie nebunește

În zâmbetul șăgalnic ispitit

Cuvântul meu de dor ce îndulcește

Nectarul tău, ce-n noapte-am absorbit

Când-amândoi sub candelabrul nopții

Ne împărțim păcatul înc-un ceas

Am să te-aștept mereu în fața porții

Să îți aud pe-aleie primul pas

< >

"Datul pe BRAZDĂ" : condiție NECESARĂ sau SUFICIENTĂ ?? // The condition is N E C E SS A R Y or S U FF I C I E N T ??

Mi-ai spus : 

 "... Începi să te dai pe brazdă ..." 

Dar ce urmează  DUPĂ  cele trei  ...  ??

AȘTEPTAREA  NU  e de ajuns !

Îmi iau o pauză...de gândire...

          I found the following Problem on page 76 :

"C : 9.  Let  $a_1,\; a_2,\,\dots\;,a_{10}$  be real numbers such that $a_{10}\neq 0$  and

$\frac{a_1}{a_2+a_3+\dots +a_{10}}=\frac{a_1+a_2}{a_3+a_4+\dots +a_{10}}=\dots=\frac{a_1+a_2+\dots +a_9}{a_{10}}=K.$

Show that $K\in \left \{-1,\;\frac{a_1}{a_{10}} \right \}$.  Generalization.

{ Author : }  Mihai DICU, teacher, Craiova"

ANSWER CiP

The problem's assumptions are insufficient. In fact, the condition that other denominators appearing in the problem statement must also be non-zero is missing. We address this in the following

                      GENERALIZATION

Let  $m\geqslant 3$  and real numbers  $a_1,\;a_2,\;\dots \;,\;a_m$  sucht that

$a_m \neq 0,\;a_{m-1}+a_m \neq 0, \dots ,\;a_2+\dots +a_m \neq 0. \tag{I}$

If  $K=\frac{a_1}{a_2+\dots +a_m}=\frac{a_1+a_2}{a_3+\dots +a_m}=\dots =\frac{a_1+\dots +a_{m-1}}{a_m}$         (E)

                     then  $K\in \left \{-1,\;\frac{a_1}{a_m} \right \}.$

ANSWER CiP to GENERALIZATION

We have one of the following possibilities :

            EITHER

$a_1+a_2+\dots a_m=0 \tag {$S_1$}$

    when  $K=-1$

            OR 

$a_2=\dots=a_{m-1}=0\;,\;\;a_1,\,a_m\;-\;being\;arbitrary\;, \;a_m\neq 0 \tag{$S_2$}$

    when  $K=\frac{a_1}{a_m}.$

 Solution CiP

SUFFICIENCY

              We fix an arbitrary index  $p\in\{1,\;2,\dots ,m-1\}.$

$(S_1)\;\Rightarrow\; a_1+\dots +a_p=-(a_{p+1}+\dots +a_m)\underset{(I)}{\neq}0\;\Rightarrow\;\frac{a_1+\dots +a_p}{a_{p+1}+\dots +a_m}=-1$

so the equalities  (E)  are satisfied.

$(S_2)\;\Rightarrow\;\frac{a_1+\dots +a_p}{a_{p+1}+\dots +a_m}=\frac{a_1}{a_m}$

and equalities  (E)  are again satisfied.

NECESSITY

               $(E)\Rightarrow K=\frac{(a_1+a_2)-a_1}{(a_3+\dots a_m)-(a_2+a_3+\dots +a_m)}=\frac{a_2}{-a_2}=-1$ , 

this applies when  $a_2 \neq 0$ ; for each of the fractions in  (E)  to have a value of  $-1$ , it is necessary and sufficient that  $\sum a_i=0$.  If  $a_2=0$ then it depends on whether 

$S=a_3+\dots  +a_{m-1}$

 is zero or not. If  $S=0$  then $K=\frac{a_1+0}{a_m}$  and if  $S\neq 0$  then  $K=-1$.

$\blacksquare$

VASILE B I V O L A R U din TIMIȘOARA - un P r o f e s o r de care NU AM VOIE SĂ UIT // VASILE BIVOLARU from TIMIȘOARA - a teacher whom I MUST NOT FORGET

 Just as I am not allowed to forget HER

The author of the problem, Vasile BIVOLARU, was my high school teacher. I am posting it here in his memory.

"24063. (page 85)   Prove that if  $a>1$ , then for any  $x\in\mathbb{R}$ ,

 the following inequality holds:

$a^x+(a+1)^x+(a^2+5a+6)^x\geqslant (a+2)^x+(a+3)^x+(a^2+a)^x$

{Author : } Vasile BIVOLARU, Timișoara"

ANSWER CiP

$"="\;\;\Leftrightarrow\;\;x=0$

                             Solution CiP

               Let us denote :

$b=a^x\;\;,\;\;c=(a+1)^x\;\;,\;\;u=(a+2)^x\;\;,\;\;v=(a+3)^x$

Noting that  $a^2+5a+6=(a+2)(a+3)\;\;and\;\;a^2+a=a(a+1)$ , the inequality to be proven is written as follows:

$b+c+u\cdot v \geqslant u+v+b\cdot c\;\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;\;u\cdot v-u-v+1\geqslant b\cdot c-b-c+1\;\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;\;(u-1)(v-1)\geqslant (b-1)(c-1) \tag{1}$

          If  $x>0$ , then  $v>u>c>b>1$  so

$\begin{cases}u-1>b-1>0\\v-1>c-1>0\end{cases} \tag{2}$

and multiplying the inequalities  (2)  above, we obtain  (1) , with the sign  $">"$.

          If  $x<0$ , then  $1>b>c>u>v>0$  so  $1-v>1-u>1-c>1-b>0$ , and then

$(1-v)(1-u)>(1-c)(1-b)\;\;\Leftrightarrow\;\;(v-1)(u-1)>(c-1)(b-1)$

and we arrive at the same conclusion.

          If  $x=0$  then  $b=c=u=v=1$  and we obtain  $"="$  in  (1).

     We obtained the answer.

$\blacksquare$

           REMARK CiP  I would not have easily found this beautiful and simple solution without the help of AOPS.