Oare ALTFEL înseamnă NICIUN FEL ?? // A CRUCIAL step in solving the problem : the ELIMINATION of the constant

 Am scris aici ce s-a întâmplat ieri , Vineri 16 Octombrie. Voiam să-i fac o surpriză dar se pare că mai mult am necăjit-o. Nici nu mi-a răspuns la ce i-am scris. Am făcut un prim pas pe care îl voiam altfel. 

Să trec mai bine la locul unde știu pașii mai bine...

I’d better move to the spot where I know the steps better.

A problem from GMB 1/1999, page 35 :

24043.  Consider the sequence  $(x_n)_{n\geqslant 0}$  defined as follows :

$x_0=0\;\;,\;\;x_1=\sqrt{2}\;\;,\;\;x_{n+1}=3x_n+\sqrt{8x_n^2+2}\;\;for\;n\in\mathbb{N}\;,\,n\geqslant 1.$

 Determine the general term $x_n$ of the sequence.

 {Author : } Alfred ECKSTEIN , Șiria, Arad

ANSWER CiP

$x_n=\frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{4}\;\;,\;n=0,\;1,\;2,\;\dots$

Solution CiP

               An initial calculation gives us  $x_2=6\sqrt{2}\;,\;x_3=35\sqrt{2}.$ Let us also note that $x_{n+1}>0$ (simple inductive reasoning : $x_1>0\;and\; x_n>0\Rightarrow x_{n+1}>0$) and that  $x_{n+1}>x_n$.

          Squaring the relation  $x_{n+1}-3x_n=\sqrt{8x_n^2+2}$  so

  $x_{n+1}^2-6x_{n+1}x_n+9x_n^2=8x_n^2+2$  we obtain

$x_{n+1}^2-6x_{n+1}x_n+x_n^2-\color{Red}2=0 \tag{1}$

The constant term  2  in (1)  somewhat complicates the calculations. To  ELIMINATE  it, we proceed as follows:

We write the equation  (1)  for  $n+1\; instead\; of\; n$ :

$x_{n+2}^2-6x_{n+2}x_{n+1}+x_{n+1}^2-\color{Red}2=0 \tag{2}$

Now we  SUBSTRACT  (2) - (1)  and we get :

$x_{n+2}^2-6x_{n+2}x_{n+1}+6x_{n+1}x_n-x_n^2=0\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;\;(x_{n+2}^2-x_n^2)-6x_{n+1}(x_{n+2}-x_n)=0\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;\;(x_{n+2}-x_n)(x_{n+2}+x_n-6x_{n+1})=0$

and since the sequence is increasing, the first parenthesis above cannot be zero, so it remains :

$x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n \tag{3}$

          But  (3)  is a second-order linear recurrence , which is handled in a known way. The equation

$\lambda^2=6\lambda -1$

has roots  $\lambda_{1,2}=3\pm 2\sqrt{2}$ , so the general term  $x_n$  is of the form

$x_n=A\cdot \lambda_1^n+B\cdot \lambda_2^n$

and the constants  $A\; and\; B$  are determined from the initial conditions. In our case

$x_0=A+B=0\;,\;x_1=A(3+2\sqrt{2})+B(3-2\sqrt{2})=\sqrt{2}\;\;\Rightarrow\;A=-B=-\frac{1}{4}$

We obtained the answer.

$\blacksquare$

          REMARK CiP  The idea is not new; see, for example 

ANDREESCU Titu, ANDRICA Dorin

360 Problems for Mathematical Contests

GIL Publishing House, Zalău, 2003

 Problem 47 on page 53—solved on pages 76–77—and the bibliographic sources cited there.

<end REM>

O C O R E C T A R E Necesară // A Necessary Correction

 CORECTAREA în ceea ce o privește pe EA 

este una din cele mai grele probleme. 

Vreau să mă raportez la EA altfel...

              Regarding problem  E : 17561, which was solved on the new blog, a few clarifications are in order.

First, for angle $\widehat{ ADC}$ to be  $45^{\circ}$ , $\hat{C}$  must be greater than  $45^{\circ}$ ; consequently,

$\hat{B}\leqslant 45^{\circ}$  , making the relationship  $AB = 2\cdot AC$ possible (see the figure above, with slightly modified notation).

     Secondly, the problem can be solved without relying on concepts regarding similarity, which are covered in the Romanian curriculum in the 7th grade.

(I redrew it at a more reasonable scale compared to the recently mentioned blog.)

 A solution suitable for the 6th-grade level can be provided.

      Thirdly, to avoid the concept of a parallelogram—which also belongs to the 7th-grade curriculum—we consider the following LEMMA; I would have liked to incorporate it into another   GEOMETRIC OBJECT , but as I mentioned, I have other, more difficult problems to deal with now.

         LEMMA  Let  $D$  be the midpoint of side  $AB$  of triangle  $ABC$ .

                      If the line through  $D$ parallel to line  $BC$  intersects side  $AC$  at point 

                      $E$ , then  $E$  is the midpoint of  $AC$ , and  $DE$  is half the length of  $BC$.

So, we have the Geometric Object        

      $\Delta ABC\;:$

$AD=DB \tag{1}$

$DE \parallel BC \tag{2}$

with the

                                  Properties :        $AE=EC\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$

$DE=\frac{BC}{2} \tag{4}$

From the hypothesis, we have the angle equalities (also marked in the figure) :

$\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\;\;\;,\;\;\;\widehat{AED}=\widehat{ACB}$

     Let  $EF \parallel AB\;\;,\;F\in BC.$

The following angle equalities result :

$\widehat{CEF}=\widehat{CAB} \tag{5}$

$\widehat{CFE}=\widehat{CBA} \tag{6}$

$\widehat {CFE}=\widehat {DEF}$     so

$\widehat{DEF}=\widehat{FBD} \tag{7}$

     If we join points  $D\; and\; F$ , then  $EF \parallel DB$  implies

$\widehat{DFE}=\widehat{BDF} \tag{8}$

     From  (8)  and  (7) , by the ASA case of triangle congruence, we have  $\Delta B\color{Magenta}{DF} \equiv \Delta E\color{Magenta}{FD}$  so

$BD=EF \tag{9}$

$DE=BF \tag{10}$

From  (9)  and  (1)  we have  $EF=AD$  and with  (5),(6)  we obtain - via ASA case - $\Delta CEF\equiv \Delta EAD$. Therefore

$AE=EC$  -  hence the conclusion  (3)

and  $DE=FC$. And further on, we have  $FC=DE\underset{(10)}{=}BF$  so 

$DE=\frac{BC}{2}$

that is, the conclusion  (4).

$\square$

A fost doar un vis // CANADA is not afraid of TRUMP

 Atenție, nu am scris "DOAR UN VIS", titlul NU se vrea o concluzie FINALĂ. Și e chiar azi, ziua pentru care EA...a pregătit niște șnițele (!)

<edit Duminica 11 OCT>  Atâta că, am visat din nou cu EA. Adormisem doar spre dimineață, imediat trebuia să mă scol și visul iar s-a întrerupt, fără să-l duc la capăt : Priveam din apartamentul meu de pe Mihai Viteazu spre Aleea Frații Buzești și vedeam o casă unde știam că locuiește ALINA. Era cu mine un tânar, care spunea că tot pe acolo locuiește. Atunci l-am întrebat dacă o știe pe Alina...M-am trezit însă brusc, fără să mai aud răspunsul lui. 

Dar, a fost doar un vis...

     But "let's get back to our beers" :  a Problem (page 369) from a Romanian living in CANADA

                    "E : 17580.  Let  $m, \;n \; and\; p$  be natural numbers, where  $p$  is not a

                perfect square. Show that the number

$ A=\sqrt{n+\sqrt{p}}+\sqrt{m-\sqrt{p}} \tag{1}$

                is rational if and only if  $m=n\;and\;p=4r^4-4r^2s$  , where  $r\;  and\; s$

                are natural numbers and  $r^2-s$  is not a perfect square.

{Author : } George STOICA, Canada"

SOLUTION  CiP

               Along with the number  $A$ , the number  $A^2$  is also rational. But

$A^2=(n+\sqrt{p})+(m-\sqrt{p})+2\sqrt{(n+\sqrt{p})(m-\sqrt{p})}$

$=n+m+2\sqrt{mn+\sqrt{p}(m-n)-p} \tag{2}$

The condition  

$mn+(m-n)\sqrt{p}-p=s^2\;,s\in\mathbb{Q} \tag{3}$

must hold so that the final expression in  (2)  is a rational number. However, since  $p\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ , this happens if and only if  $m=n$  and  $n^2-p=s^2$ , so

$p=n^2-s^2\;\;,\,s\in\mathbb{Q} \tag{4}$

      Using the formula for nested radicals, we have

$\sqrt{n\pm \sqrt{p}}=\sqrt{\frac{n+s}{2}}\pm\sqrt{\frac{n-s}{2}}$

so  $A=2\sqrt{\frac{n+s}{2}}$. For  $A\in\mathbb{Q}$  we must also have  $\frac{n+s}{2}=r^2\;,\;r\in\mathbb{Q}$. Hence

$n=2r^2-s\;\;,\;\;p\underset{(4)}{=}n^2-s^2=(2r^2-s)^2-s^2=4r^4-4r^2s\;\;,\;r\in\mathbb{Q} \tag{5}$

$p=4r^2(r^2-s)$  is not a perfect square if and only if  $r^2-s$  is not. We have found the formula :

$A=\sqrt{2r^2-s+2r\sqrt{r^2-s}}+\sqrt{2r^2-s-2r\sqrt{r^2-s}}=2r \tag{6}$

 which isn't exactly miraculous, because

$2r^2-s\pm 2r\sqrt{r^2-s}=(r^2\pm 2r\sqrt{r^2-s}+(r^2-s)=(r\pm\sqrt{r^2-s})^2$

      More interestingly, in formulas  (4)  and  (5) , we must have  $r\;,\;s\;\in\mathbb{N}.$ Indeed, let the conditions be satisfied for both  $ r\; and\; s$ :

$m=n=r^2+(r^2-s)\in\mathbb{N}\;,\;p=4r^2(r^2-s)\in\mathbb{N}$

We have a quadratic equation in the unknown  $r^2$

$4r^4-4r^2s-p=0$

Using the reduced discriminant

$\Delta_{r^2} '=s^2-p=a^2\;\;,\;a\in\mathbb{Q} \tag{7}$

we obtain  $r^2=\frac{2s\pm a}{4}=b^2\;,\;2s=4b^2\pm a$  so

$s=2b^2\pm \frac{a}{2} \tag{8}$

Next, we have  $m=n=b^2+b^2-s\underset{(8)}{=}2b^2-2b^2\pm \frac{a}{2}=\pm \frac{a}{2}$  Therefore

$a\in\mathbb{N}$ (even more, an even number)

and from  (7)  it follow  $s\in\mathbb{N}$. But now, from  (8)  we obtain  $2b^2\in\mathbb{N}$  so  $b\in\mathbb{N}.$

$\blacksquare$

Probleme ... cu ANAF-ul // What Happens When the IRS Suspects Tax Evasion?

 E bine daca mai pot inca glumi... Dar, CUM? de ai stiut tu, INGERE ca am avut treaba la ANAF ?? 

.

.Chiar mi-ar placea sa fiu un mic evazionist, sa fi TU politista care ma arestezi...

.

Fac in pripa aceasta postare sa ma mai eliberez de presiunea supararii ca marti nu m-am putut intelege deloc cu tine.... Ba chiat mi-ai adresat "ultimul cuvant"...

Pai, chiar am fost nu demult la ANAF

(nu stiu ce m-a impins sa imortalizez evenimentul). 

{edit 09.Oct}Daca tot m-ai

PROVOCAT

atunci hai sa-ti povestesc...
          Ne-am gandit, in urma cu vre-o sase ani, sa strangem niste bani ca sa facem cand vom iesi la pensie o 

CROAZIERA

Cu chiu cu vai am reusit sa strangem 240 000 LEI (ar fi ajuns de una mica, pe Dunare probabil)

      In ultimul meu an inainte de pensie (cam pe vremea Pandemiei) am luat jumatate din partea mea (120 000) si i-am "INVESTIT". Primii 30 000 s-au dovedit o investitie PAGUBOASA... 

     Atunci m-am hotarat ca restul sa-i investesc in ceva mai sigur, desi cu un PROFIT mai MIC : Titlurile de Stat pentru Populatie

TEZAUR

Am facut totul pe ASCUNS, fara sa stie sotia (bine, o parte i-am investit in FIDELIS, care cam tot dracul ala este). Cand am terminat partea mea din suma, a trebuit sa-i spun sotiei, avand nevoie de niste bani din partea ei pentru urmatoarea EMISIUNE. (Peste doua luni, cand era ziua ei chiar voiam sa-i spun de investitia facuta; n-a mai fost sa fie, a trebuit sa dezvalui mai devreme SECRETUL.)

      Sotia a inteles repede si a fost de acord.... DAR a aparut nevoia sa o ajutam pe fiica mea ALEXANDRA sa achite un avans la o locuinta pe care voia sa o cumpere, asa ca i-am dat tot RESTUL de bani ei.
      Incet, incet, intr-un an ne-am revenit, sotia a iesit si ea la PENSIE (dar visul nostru cu croaziera trebuie AMANAT, avand si probleme cu socrii mei, acum destul de in varsta. 

TREABA

MERGE

INAINTE

dar eu mai am inca de RECUPERAT o suma importanta, cu alte cheltuieli NESABUITE ale mele am ajuns la o DATORIE inca de vre-o 40 000 Lei. 
       N-as vrea sa-i marturisesc inca sotiei despre PASIUNEA pe care am facut-o pentru

TINE

ca ar crede ca o parte din banii pierduti au fost din cauza ta. Si...

NU VREAU

SA TE ACUZE

pe TINE

nimeni de nimic...

        Asa ca,

DA

AM AVUT

TREABA la A N A F

           Imagini de arhiva...

PRIMA subscriere la programul TEZAUR ; 23 NOI 2021

.

(sus si jos : ultima RETRAGERE a dobanzii incasate pana acum)

.Ultimul EXTRAS de CONT de la TREZORERIE : am rulat vre-o 47 000 anul acesta

.Detinerile de-a lungul timpului...Suma FINALA investita este de 200 000 Lei, inca insuficient sa recuperez toata suma pe care am avut-o initial

(pana aici, in IUNIE 2025, am recuperat 170 000 Lei)

< continuare >

< gata ; mergem cu asta INAINTE >

DAR cu TINE ??

TREI SECUNDE

 (ora 20:45)

Nu este vorba de melodia "noastră"<link_1> (simt că într-un fel îmi aparține și mie). Sper să mă ierți că am folosit titlul.

Este vorba de ceea ce mi-ai trimis în această seară. Încă nu m-am uitat (da, la ora pe care am menționat-o) doar am apăsat butonul de pornire să văd dacă s-a descărcat bine...Am rulat doar trei secunde...

Scriind de pe telefon, mă rezum doar să-ți spun doar câteva vorbe:

1) MULȚUMESC 

2) N-am să-ți rămân dator ; ca să vezi că nu trebuie să regreți că ai avut încredere în mine, cu prima ocazie când deschid laptopul îți voi da ceva cu mine... 

Închei, spunându-ți doar că TE IUBESC ALINA.

Am simțit eu că se întâmplă ceva deosebit cu tine, stai liniștită că te înțeleg...

NOAPTE BUNĂ !

(end Post, 21:06 ; tot ceea ce mai completez ulterior voi evidenția cu o culoare, probabil galben) 

{edit Duminica 27 Sep ora 16:50}Am introdus <link_1> sub textul scris cu albastru si am formatat cuvinele "doar trei secunde" ca sa subliniez provenienta titlului Poatarii. Restul este  NEMODIFICAT... A fost scris la PRIMA REACTIE, iar alte cuvinte sunt de prisos.<END>

S A N D A Șapte Like-uri // ROMANIAN MATHEMATICAL COMPETITIONS

 Ieri la  [17:30] cand am intrat pe chat (parca cu nickul, inca neinregistrat "LoveFedora") EA era prezenta...N-am stat mult... Am reintrat la  [20:40] , vazand-o din nou...(Trebuie ca a avut o rentrare...avea alt IP deja...). Spre sfarsit, a dat  ȘASE like-uri  (am zis 7, asa ca in povesti...) . Am vazut-o iesind la  {22:11]... Mi s-a mai astâmpărat dorul de tine...

Newly released magazine

S A N D A , văd că nu vrei să socializam (!hic) // A Problem with the TRANSVERSAL Line // O Problema cu linia TRANSVERSALA

Mi-a spus "Lexus" că ai primit o invitație să te alături altui chat... Unde mixează și "mashup_dj"... Cică  ai fost și ... NU ȚIA PLĂCUT...

PLĂCEREA VINE....

          Let us consider the problem taken from page 384 :

                        "17948*.  An arbitrary point  $D$  is chosen on side  $BC$  of triangle 

                        $ABC$ , and an arbitrary point  $P$  is considered on segment  $AD.$ 

                  An arbitrary line passing through point  $P$  intersects sides  $AB\; and\; AC$

                  at points  $M \;and\; N.$  If we denote  $\frac{BD}{DC}=m\;\; and\;\;\frac{AP}{PD}=n$ ,

                  then the relation 

$\frac{MB}{MA}+m\cdot \frac{NC}{NA}=\frac{m+1}{n} \tag{E}$

                    holds.

I. Șiclovan, University Lecturer, Petroșani."

SOLUTION  CiP

          Let's use the notation :       $\frac{\overline{MB}}{\overline{MA}}=-k\;\;,\;\;\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}=-l\;\;\;\;\;\;(1)$

.

The relationship  (E)  to be proven is written as follows:

$\fbox{$k+m\cdot l=\frac{m+1}{n}$}$                                                       (2)

Using the formulas established here or here, it follows from  (1)  that :

$\overrightarrow{PM}=\frac{k}{1+k}\cdot \overrightarrow{PA}+\frac{1}{1+k}\cdot \overrightarrow{PB} \tag{3}$

$\overrightarrow{PN}=\frac{l}{1+l}\cdot \overrightarrow{PA}+\frac{1}{1+l}\cdot \overrightarrow{PC}\tag{4}$

     We will take the result  (1)  established here , writing

  $\overrightarrow{PC}=-\frac{1+m}{mn}\cdot \overrightarrow{PA}-\frac{n}{mn}\cdot \overrightarrow{PB}$

and then we can continue in  (4) :

 $\overrightarrow{PN}=\frac{l}{1+l}\cdot \overrightarrow{PA}+\frac{1}{1+l}\cdot \left (-\frac{1+m}{mn}\cdot \overrightarrow{PA}-\frac{1}{m}\cdot \overrightarrow{PB} \right)=\frac{lmn-1-m}{(1+l)mn}\cdot \overrightarrow{PA}-\frac{1}{(1+l)m}\cdot \overrightarrow{PB}$

     Since the points  $M,\; P\; and \;N$  are collinear, we have, for a certain scalar  $\lambda$

 $\overrightarrow{PN}=\lambda \cdot \overrightarrow{PM}$

And since the vectors  $\overrightarrow{PA}\; and \;\overrightarrow{PB}$  are linearly independent, the equality of the scalars follows from the  (3)  and the final form of  (4) :

$\begin{cases}\frac{lmn-1-m}{(1+l)mn}=\frac{\lambda\cdot k}{1+k}\\-\frac{1}{(1+l)m}=\frac{\lambda}{1+k}\end{cases}$

From the above, eliminating  $\lambda$  yields

$\frac{lmn-1-m}{(1+l)mn}=k\cdot \left (-\frac{1}{(1+l)m}\right )\Rightarrow lmn-1-m=-kn\Rightarrow nk+lmn=m+1\Rightarrow$

$\Rightarrow k+lm=\frac{m+1}{n}.$

We obtained  (2).

$\blacksquare\;\;\;\;\;\blacksquare$