Nu ne mai iubim, adică nu mai avem vin // A Ill-posed problems

 Are dreptate Părintele... Toti ne punem uneori îîntrebarea "CE ESTE IUBIREA ??": 

și eu, în legătură cu EA

Nu ne mai iubim, adică nu mai avem vin

Menţionez, dintru început, că acest articol nu este pentru cei care cred că au relaţia perfectă, iubirea perfectă, familia perfectă. Care sunt convinşi că nu este nimic în neregulă în căsnicia lor, că nu trebuie schimbat nimic.

Este scris pentru cei care suferă văzând că relaţia cu soţul/ soţia începe „să scârţâie”. Că au cam dispărut farmecul şi sentimentul ce-i anima în luna de miere. Este pentru cei care constată că rutina zilnică, problemele copleşitoare sau dialogurile tensionate macină serios temelia căminului conjugal. Pentru cei care se sperie când ajung la concluzia că nu ar mai avea nimic în comun cu cel/ cea cu care s-au unit în taina cununiei. Pentru cei pentru care soţul/ soţia a devenit doar un soi de coleg de apartament. Sau doar celălalt părinte al copilului/ copiilor… Pentru cei care sunt ispitiţi să creadă că ăsta este sfârşitul. Că divorţul ar fi singura (onesta?!) soluţie. Şi care trăiesc cu iluzia că, undeva, în lume, sau chiar sub nasul lor (la serviciu, printre „prietenii” de pe Facebook etc.) se află, de fapt, perechea ideală. În fine, pentru cei care, după ce au crezut că şi-au găsit „jumătatea”, acum se văd a fi sfâşiaţi, zdrobiți… neîntregi....

Steiner’s theorem // Lăcrimând după A L I N A

 Am vorbit azi, preț de peste o oră cu "sanda", începând cu ora  [14:15]. 

Nu am mai făcut s/s a discuției, așa cum am și promis... Să nu se simtă cumva stânjenită... Ce e clipă, rămâne clipă... 

Întâlnirile cu EA sunt așa de dulci dar și așa de dureroase... Nu știu cât e realitate și cât este doar joacă... Îi spun aici : IUBITA mea,

 eu sunt un om concret și te caut pe tine, ființa concretă Alina. De când te-am întâlnit prima dată am simțit ceva special la tine...Apoi, nuștiu când, am simțit că te iubesc... Dorința mea supremă este să te pot întâlni odată...

Mi-a spus că nu se poate așa ceva... Te rog, lasă-mă să sper... 

Sau, mai supăra-te pe mine și nu-mi mai vorbi mult timp, așa ca vara aceasta. Voi suferi dar imi  voi și aminti frumos de tine...Mai mult aici pe blog...

Steiner’s theorem

Let $ABC$ be a triangle and $M,N\in \left(BC\right)$ be two points such that $m\left(\angle BAM\right)=m\left(\angle NAC\right)$. Then the cevians $AM$ and $AN$ are called isogonic cevians and the following relation holds:

$\frac{BM}{MC}\cdot \frac{BN}{NC}=\frac{AB^2}{AC^2} \tag{S}$

.

          REMARK CiP  The correct definition of isogonal cevians is :

 Cevians symmetric with respect to the angle bisector of  $\angle BAC$ (green line).

,

If  $\color{Green}{AD}$ is the bisector of angle  $\angle BAC$ , then we have  $\widehat{BAM}=\widehat{DAM}-\widehat{DAB}\;\;\overset{AM,\;AN}{\underset{sym\;wrt\;AD}{=}}\;\;\widehat{DAN}-\widehat{DAC}=\widehat{NAC}$ . This is how we arrive at the equal angles in the usual statements. We note that we could also say that  $AM \;and\; AN$  make equal angles with the sides  $AB \;and \;AC$  of the triangle, respectively, and are similarly placed. That is, both inside, as in most texts, or both outside as we did here ; but NOT one inside and the other outside.

<end REM>

SOLUTION CiP

          

             We construct the parallelogram  $ABEC$ through parallels  $BD\parallel AC\; and\; CD\parallel AB$. $P\; and\; Q$  note their intersections with  $AM\; and\; AN$.

We have  $\widehat{ABE}=\widehat{ACE}\Rightarrow \widehat{ABP}=180^{\circ}-\widehat{ABE}=180^{\circ}-\widehat{ACE}=\widehat{ACQ}$

so we have similar triangles  $\Delta ABP \sim \Delta ACQ$ (case AA) whence

$\frac{PB}{QC}=\frac{AB}{AC} \tag{1}$

From parallel lines, similar triangles also result : 

 $\Delta NQC \sim \Delta NAB\;\;,\;\;\Delta MPB \sim \Delta MAC$ 

 whence

$\frac{BM}{MC}=\frac{PB}{AC}\;\;\;;\;\;\;\frac{BN}{NC}\frac{AB}{QC} \tag{2}$

So

$\frac{BM}{MC}\cdot \frac{BN}{NC}\overset{(2)}{=}\frac{PB}{AC}\cdot \frac{AB}{QC}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{PB}{QC}\underset{(1)}{=}\frac{AB}{AC}\cdot \frac{AB}{AC}=\frac{AB^2}{AC^2}.$

$\blacksquare$ QED

SĂ NU-MI IEI NICIODATĂ DRAGOSTEA // “Don’t ever take my love away”

 M-am mai liniștit, când am schimbat câteva cuvinte ieri cu "sanda"... Deși am simțit pe undeva că are o frământare... A sufletului...? ... a trupului...?  Of, și eu chiar am avut pentru o clipă sufletul ei în palme...

Asta era melodia de la Radio, când a chemat-o Scorpion_46 la dans...

Culmea, HOLOGRAF chiar vine să concerteze în acest weekend la CISNĂDIE, de zilele orașului....

Iar eu...fac ce fac demult... De acesta data am lucrat cu anumita impacare....

I would really be interested in Problem 17784*, page 243. It is by an acquaintance of mine from TIMIȘOARA, already a student in Bucharest, MIHALAȘ Stelian...whom I hope to be able to talk about someday. It's about isotomic Cevians and a STEINER-type formula is established... But as I was saying, it seems like they're starting to overwhelm me....

M I N U N I chiar se mai Întâmplă // MIRACLES really do happen // ΘΑΥΜΑΤΑ όντως συμβαίνουν

 După o grămadă de vreme de când pe Alina n-am mai văzut-o decât pe chat, azi, în timp  ce lucram la scanarea unei reviste, chiar am vorbit cu EA...

After a long time since I've only seen Alina on chat, today, while I was working on scanning a magazine, I actually talked to HER... 

Unfortunately, I have lost the ability to think too abstractly in mathematics, and even to understand some more complicated texts... All that remains is to complete the Electronic Library with old or new issues of magazines...

A L I N A ca o Contesă !! // ALINA as a Countess

 Îmi amintesc azi, când am îndrăznit să comentez pe chat la invitația lui  "Scorpion_46" la dans pentru "sanda", de încă o locatie care duce cu gândul spre vechiul nick a lui Alina, "izvoarele".

Este vorba despre IZVORUL CONTESELOR, pe care l-am vizitat marti, 14 jul. in HERCULANE.

Izvorul Conteselor din Băile Herculane este un loc cu o poveste fascinantă, înconjurat de peisaje naturale spectaculoase. Este parte a promenadei Aleea Conteselor, care traversează o pădure și este un artefact important atât pentru cultura locală, cât și pentru activitățile turistice ale stațiunii. Promenadei și Izvorului Conteselor se propune amenajarea urbană și peisageră pentru a le pune în valoare, având în vedere cadrul natural și istoric al locului.

Tot cu gandul la ALINA, am rugat sotia sa-mi faca niste poze acolo.... Nu prea se pricepe...

.

.

.

Exista si o Legenda locala... COPILOT mi-a rezumat pe scurt astfel :
<<

Izvorul Conteselor din Herculane spune povestea unor tinere contese care, fugind de pericole, au găsit adăpost lângă un izvor termal; apa le‑a vindecat rănile și oboseala, iar locul a rămas cunoscut ca izvorul lor miraculos.

>>

iar o varianta mai lunga 

<<

Legenda spune că, demult, câteva contese tinere călătoreau prin valea Cernei, fugind de un pericol neștiut. Obosite și rănite, s‑au oprit lângă un izvor termal ascuns între stânci. Apele fierbinți le‑au vindecat rănile, le‑au redat puterea și le‑au protejat de urmăritori, ca și cum locul însuși le-ar fi ocrotit. Oamenii din zonă au aflat povestea și au numit izvorul „al Conteselor”, crezând că apa are dar tămăduitor și binecuvântare pentru cei care ajung acolo. Astfel, izvorul a rămas în tradiția locală ca un loc al vindecării și al norocului.

>>

DAAA, si eu am avut un noroc sa pot sa o cunosc pe ALINA... Daca stiam, ma rugam si de contesa sa-mi dea o mana de ajutor... Din pacate, eu stric totul...

....Iar in drumul spre acel loc am nimerit in curtea unei proprietati private (pe o Placa de pe casa era pomenita trecerea pe aici a scriitorului banatean Sorin TITEL). In curte am vazut o statuie de bronz, cu o printesa, si m-am gandit sa-i arat poza la LUCIA... Din pacate si cu Lucia am rupt legatura...

.

.

.

EU NU îți spun ADIO. Doar La Revedere. Te rog re-NAȘTE-mă // I’m not saying “Farewell”. Only “See you again”. Please let me be born anew

 I would have liked you to bother me even if I had some work to do, my love...

.

Problem C : 2488 as a GEOMETRIC OBJECT

          We consider a problem from the Magazine in the picture, page 140.

 

"C:2488.  In triangle  $ABC\;(AB=AC)$ , let  $M$  be the midpoint of side $(AC)$.

If  $m(\angle MBC)=30^{\circ}$ , show that triangle  $ABC$  is equilateral. 

{Author : } I. TUDOR, Băbana, Argeș"

SOLUTION CiP

              The figure in the problem is :

To this we have the properties :

$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{AB}{2}\tag{1}$

$\widehat{MBC}=30^{\circ} \tag{2}$

The following Lemma is related to the geometric object Medians of a Triangle :

          Lemma  If a triangle has two equal medians then it is isosceles.

          Proof of Lemma  In the geometric object in the figure below (which is

  subordinate to the more general object MIDDLE LINE) we have the properties :

$AM=MC=\frac{AC}{2}\;\;,\;\;BD=DC=\frac{BC}{2} \tag{$L_1$}$

$AG=\frac{2}{3}AD\;,\;DG=\frac{1}{3}AD\;\;;\;\;BG=\frac{2}{3}BM\;,\;MG=\frac{1}{3}BM \tag{$L_2$}$

From the hypothesis we have  $AD=BM\;;\;(L_2)\Rightarrow AG=BG\;and\;MG=GD$. From here and from the equality of vertical angles  $\widehat{AGM}=\widehat{BGD}$  results with the SAS case of congruence of triangles that
$\Delta AGM=\Delta BGD \tag{T}$

Then  $(T)\Rightarrow AM=BD\;\underset{(L_1)}{\Rightarrow} AC=BC.$

qed Lemma $\square$

Let us consider the symmetry of the problem figure with respect to the line  $BC$.

The point  $A'$  is the symmetric point of  $A$ ,  $M'$  of  $M$. Then

$AA' \perp BC\;,\;MM'\perp BC\;\;,\;\;BM'=BM\;\;,\;\;\widehat{M'BC}=\widehat{MBC}$

In particular, the height  $AD$  in the isosceles triangle  $ABC$  is also the median.

     First, triangle  $MBM'$  is equilateral ($\widehat{MBM'}=60^{\circ}$), so

$MM'=BM \tag{3}$

Secondly,  $ME$  being parallel to  $AD$ (both perpendiculat to  $BC$), and  $M$  the midpoint of  $AC$ , we have from the  Midline Theorem that

$\frac{AD}{2}=ME=\frac{MM'}{2}\underset{(3)}{=}\frac{BM}{2}$

hence  $AD=BM$.

     Therefore, in triangle  $ABC$ , medians  $AD\; and\; BM$  are equal, so by the Lemma,  $CA=CB.$  Triangle  $ABC$  is therefore equilateral.

$\blacksquare$