I U B I R E A , F E R I C I R E A , C Ă U T A R E A // The Lost Notebook of Another Ramanujan

 IUBIREA ESTE TOT CEEA CE CONTEAZĂ

Love is all that matters  -  sună ca dracu'...

THE SEARCH

In the summer before starting my first year of university in the autumn, I found this problem in the magazine below (page 358).

"O : 71.  Let  $n\in\mathbb{N}^*$ . Show that there exist

  $r\in\mathbb{N}^*\;and\;a_1,\;a_2,\;\dots a_r,\;b_1,\;b_2,\;\dots b_r\in\mathbb{Q}$  such that

$\sqrt{n}=a_1\sin b_1\pi +a_2 \sin b_2\pi+\dots+a_r \sin b_r\pi.$

{Author : } Marcel ȚENA, teacher, Alexandria (Prize-winning problem at the SSM competition)"

          The author will subsequently publish a solution using the Kronecker-Weber theorem.

I saw something special in this problem, just as, later on, I saw something special in Alina.

Not long ago, I came across some scribbled pages containing an attempt to solve this problem.

LOVE

Among the pages I found, I also came across two letters that Christina, my future wife, had sent me.

.

Eight days later, we got married in Sibiu.

.

.

THE SEARCH - 2

          I picked up a notebook for scribbles, to which I gave a pompous title :

We start with the formulas from Exercise 5.

(b)  $\sqrt{n}=2^{n-1}\cdot \sin \frac{\pi}{2n}\cdot \sin \frac{2\pi}{2n}\cdot \dots \cdot \sin \frac{(n-1)\pi}{2n} \tag{1}$

Using the formulas for transforming trigonometric products into sums

 results in an expression :

$\sqrt{n}=a_1\cdot \sin \{or\;\cos\} b_1\pi+\dots +a_r\cdot \sin\{or\;\cos\}b_r\pi$

Whenever a cosine appears, it can be transformed into a sine using the complementary angle formula:

$\cos b\pi=\sin \left (\frac{\pi}{2}-b\pi\right )$

Then we finally obtain the desired writing of the  $\sqrt{n}$.

$\blacksquare$

LOVE  &  SEARCH

          The results obtained were surprising. We are including a few sheets showing the results and calculations.

.

.

.

Wait, what is this strange paper with holes along the edge?

          This is the point I wanted to reach—the word *Felix*, which means happiness.

That’s how we worked back then—using Felix C-generation computers and dot-matrix printers... I was left with stacks of paper from the many projects I worked on during university (in Fortran, Assiris, and Cobol), and I used the backs of the sheets to sketch out calculations.

Ah, and now, another moment of nostalgia—this one quite recent. That is exactly how a conversation with Alina began—about "buffers" and logic diagrams...

< End Of Love>

THE SEARCH  3

          Especially in the case of prime numbers  $n$ , the formula seemed to have a distinctive structure.

The formula seemed linked to cyclotomic polynomials, as I had initially thought, but then certain Legendre symbols appeared to be involved...

     I thought I would hit the jackpot by going all the way to solving Fermat's Last Theorem. 

     Much later, I learned that Gauss had already obtained such formulas....

Next, I add all the old sheets I have left, without any particular order... And, indeed,

  THE SEARCH is sometimes more important than the result.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

THE END

Unora NU le place Jazzul : Nimeni nu e perfect // Some Like It Hot : "Well, nobody's perfect!"

 Eram spre sfârșitul clasei a VIIIa când a fost acest film la TV... A doua zi, de dimineața, s-a dat în reluare și am chiulit cu toții să-l (re)vedem : avea școala un club, cu o masă de biliard, un TV, o sală de repetiții pentru serbări. Acolo ne-am strâns, mai veneau din când în când și niște profesori, cool pe vremea aceea, dar stăteau numai pe timpul pauzei....

Azi, în lipsă de inspirație, mergând cu soția să cumpărăm niște cărti de la Libraria Erasmus (pentru meditațiile ei), ne-am abătut prin Piața Schiller, unde are loc un concert de Jazz zilele acestea. Eram cu gândul tot la cea pe care o consider perfectă....Din umilință, nu-mi mai permit să-i rostesc numele...Sunt nevrednic...

.scena 

.afisul, undeva in oras

Uite cui nu-i place Jazzul ; prefera mai bine zona de "street-food"

.

.

.

Cum ? Să FI mai F E R I C I T ?? // The inequality called TITU ANDREESCU's Lemma

 I-auzi ce zice doamna :

„Nu dopamina este dușmanul. Problema apare când ne organizăm viața în jurul recompensei permanente”

Concluzia (ei) : Soluția nu este să eliminăm dopamina din viețile noastre, ci  << să învățăm din nou să tolerăm așteptarea, efortul, plictiseala și „durerea potrivită” și să nu transformăm fiecare moment al vieții într-o căutare a recompensei. >>

Și eu caut să repet ceea ce mi-a adus odată plăcere... Dar, prin unele le lucruri care le fac, am impresia că provoc altora durere... 

And I'm looking to repeat what once brought me pleasure...

page 305 :

    "E : 12200.  If  $x,y\in (0\;,\;+\infty)$ , prove that                    

 $\frac{4}{x}+\frac{9}{y}\geqslant \frac{25}{x+y} \tag{E}$

 {Authors : } Daniel FEHER, Sebeș, Alba and Aurel DOBOȘAN, Lugoj"

ANSWER  CiP

$"="\;\Leftrightarrow\;x=2\cdot t\;,\;y=3\cdot t\;\;,\;t>0\;-\;real\;number$

                                      Solution CiP

          From

  $\frac{4}{x}+\frac{9}{y}-\frac{25}{x+y}=\frac{4y(x+y)+9x(x+y)-25xy}{xy(x+y)}=\frac{4xy+4y^2+9x^2-25xy}{xy(x+y)}=\frac{9x^2-12xy+4y^2}{xy(x+y)}=\frac{(3x-2y)^2}{xy(x+y)}\geqslant 0$

We have  $"="\Leftrightarrow3x-2y=0\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$.  We get the answer.

$\blacksquare$

          REMARKS CiP

               1. The inequality takes the form

$\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{y}\geqslant \frac{(2+3)^2}{x+y}$

In this form, it is known as Titu's Lemma. In reality, his surname is Andreescu; Titu is his first name.

<end REM>

EU NU REUȘESC SĂ TE REGĂSESC // I CAN'T FIND YOU...and other UNSOLVED Problems

Sunt destul de sigur că există mai multe melodii care să exclame  < I CAN'T FIND YOU > 

TU știi mai bine... Îți dedic această poezie care mi-a întâmpinat ziua de azi... Eu rămân cu mângâierea că te-am găsit.

AM SĂ TE RENASC

Am să te renasc mereu din iubire și cerneală,

Chiar de tocul s-a uscat, poticnindu-se-n greșeală.

O să-ți strâng cenușa-n palme când vulcanu-n mine plânge

Și-o să-ți scriu câteva psalme cu căneală și cu sânge.

Am să-ți colorez pe ceruri ca să-mi dea un strop de ploaie,

Ca să stingă focul aspru, toropeala s-o înmoaie.

Roua ta să mă inunde cu sclipiri de porțelan,

Să te las să-mi curgi în vene, doar pe note de pian.

Să pot să-ți inund pământul, stelele să-ți pun în poală,

Iar canicula din suflet să te lase-n mine goală.

Lava să-mi coboare-n gânduri din înaltul unui rai,

Să aprindă-n mine noaptea când în versuri o să-mi stai.

Să adorm cu tine-n brațe, trupul meu să-ți fie scut,

Buzele de jar, iubito, contopindu-se-n sărut.

Să te mângâi cu poeme sub un cer nedefinit,

Să trăim ca-ntr-o poveste… happy-end la infinit.

(sursa Facebook ; autor BUMBAC RAMONA )

And I'll add what I worked on yesterday

.

Unfortunately, my lack of concentration has meant that I haven't yet completed the few problems chosen above.