OLIMPIADA de MATEMATICĂ a SATELOR din ROMÂNIA

                               Etapa Judeteană - 17 martie 2018

    Prin amabilitatea lui  BÎЯGHIȘAN Lucian Andrei (într-o ortografie pe cale de dispariție).

GAZETA MATEMATICA Seria B N0 6/2006

 la issuu.com sau scribd.com sau Drive

Problema E:13242 GMB 7/2006 pentru Clasa a VIII-a

        La pag. 380

        Figura CP

      Raspuns CP    a) $C'S=10 cm$ ;
                              b)  $d(N,pl(A'C'M))=\frac {2}{3} cm$

Rezolvare CP

      a) In planul $(A'B'C'D')$ construim patratul $A'D'EF$.

 Dreapta $BN$ trece prin punctul $F$ deoarece $ABA'F$ este paralelogram (avand $[AB] \parallel$ si $\equiv [FA']$ ) in care $[AA']$ este una din diagonale iar mijlocul ei $N$ este centrul acestui paralelogram; atunci a doua diagonala $[BF]$trece tot prin $N$.
Prelungim segmentul $[EF]$ dincolo de punctul $F$ cu inca o jumatate din $[EF]$, adica $FS=\frac{EF}{2}=2$ cm. Acum avem $[FS] \parallel$ si $\equiv [MB]$ deci $BMFS$ este paralelogram, si atunci diagonala lui $[MS]$ trece prin mijlocul $N$ al diagonalei $[BF]$. Astfel $S$ este punctul cautat $MN \cap (A'B'C')$.
        Cum $C'D=D'E=4$ cm avem $C'E=8$ cm, iar $ES=EF+FS=4+2=$
$=6$ cm si atunci, cu teorema Pitagora obtinem

 $C'S= \sqrt{C'E^{2}+ES^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$cm.

       b)  Prin punctul $M$ ducem paralela la dreapta $C'A'$;

ea este $\parallel$ si cu $CA$ deci trece prin mijlocul $P$ al lui $[AB]$ ( iar mai departe taie dreapta $AD$ in punctul $R$ astfel incat $[AR] \parallel$ si $\equiv [MB]$ , cum se vede usor din paralelogramul $ARBM$). Astfel planul $(A'C'M)$ sectioneaza cubul dupa trapezul $A'C'MP$.
         In triunghiul dreptunghic_si_isoscel $APR$ sa ducem $AT \perp RP$; avem imediat,

 cu te0rema_celor_3_perpendiculare, ca $A'T \perp RP$. Din $MT \perp pl(A'AT)$ si cum $pl(A'C'M)$ trece prin $MT$ rezulta $pl(A'C'M) \perp pl(A'AT)$ iar muchia lor de intersectie este dreapta $A'T$.
         Daca ducem acum $NV \perp A'T$ vom avea $NV \perp pl(A'C'M)$ deci $NV$ este segmentul_distanta de la punctul $N$ la planul $A'C'M)$. Evident $NV=\frac{AU}{2}$, unde $AU$ este inaltimea din $A$ in triunghiul $A'AT$; calcule simple conduc la valoarea

$AU=\frac{AA' \cdot AT}{A'T}=\frac {4\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\frac{4}{3}$

si rezulta $NV=\frac{2}{3}$.

$\blacksquare$

Remarca CP

          Prin cateva ingrediente de Geometrie_analitica (in spatiu) distanta cautata la punctul b) se poate determina - ca valoare, si ca pozitie - relativ simplu.
   

Ecuatia planului $(A'C'M)$ este

 $\begin{vmatrix}
 &x  &y  &z &1 \\
 &4  &0  &4 &1 \\
 &0  &4  &4 &1\\
 &2  &4  &0 &1
\end{vmatrix}$ $=0$,
sau, scazand Linia_4 din L_1,2,3

$ \begin{vmatrix}
 &x-2  &y-4  &z &0 \\
 &2  &-4  &4 &0 \\
 &-2  &0  &4 &0\\
 &2  &4  &0 &1
\end{vmatrix}$$ =0$, care dezvoltat dupa Col_4 este

  $\begin{vmatrix}
 &x-2  &y-4  &z  \\
 &2  &-4  &4  \\
 &-2  &0  &4
\end{vmatrix}$$=0$; simplificand cu 2 L_2 si L_3 obtinem

$\begin{vmatrix}
 &x-2  &y-4  &z  \\
 &1  &-2  &2  \\
 &-1  &0  &2
\end{vmatrix}$$=0$, apoi adunam 2$\cdot$C_1 la C_3

$\begin{vmatrix}
 &x-2  &y-4  &z+2(x-2)  \\
 &1  &-2  &4 \\
 &-1  &0  &0
\end{vmatrix}$$=0$, care dezvoltat dupa L_3 conduce imediat la

(1)                                                        $2x+2y+z-12=0$.

       Atunci distanta de la punctul $N(4,0,2)$ la planul de mai sus are valoarea

$d(N,pl(A'C'N))$ $=\frac {\left | 2\cdot 4+2\cdot 0+1\cdot 2 -12 \right |}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{3}$.

       Pentru a preciza aceasta distanta, fie $\overrightarrow{n}=(2,2,1)$ - dedus din ecuatia (1) - un vector normal la planul $(A'C'M)$. Ecuatiile perpendicularei dusa intr-un punct curent $P(u,v,12-2u-2v)$ al planului (1) vor fi
(2)                 $\begin{cases}
 &  x=u+2t \\
 & y=v+2t \\
&z= 12-2u-2v+t
\end{cases}$, unde $t \in \mathbb{R}$.
Dreapta (2) trece prin punctul $N(4,0,2)$ atunci cand $\begin{cases}
 &  4=u+2t \\
 & 0=v+2t \\
&2= 12-2u-2v+t
\end{cases}$, de unde obtinem  $t=-\frac{2}{9}$$u=\frac{40}{9}, v=\frac{4}{9}$, adica piciorul perpendicularei din $N$ pe planul (1) este $P_{0}=(\frac{40}{9},\frac{4}{9},\frac{20}{9})$, etc.

GAZETA MATEMATICA Seria B N0 7/2006

Vezi in DRIVE  sau issuu.com

Problema E:13238 GMB 7/2006, pag 379

Vezi in DRIVE

Raspuns CP :  Egalitate d.d. $a=1$ si $b=1$.

Rezolvare CP

                  Notam $E(a,b)=a^{2}+b^{2}+2-a-b-2ab$ si avem de aratat ca $E(a,b)\geqslant 0$.
Fie $a=x+y$ si $b=x-y$ ($x$ si $y$ sunt unic determinati de $a$ si $b$ prin $x=\frac{a+b}{2}$, $y=\frac{a-b}{2}$). Conditia $ab\leqslant 1$ se scrie

(1)                     $x^{2}-y^{2}\leqslant 1$.

In noile variabile avem $E(a,b)=(x+y)^{2}+(x-y)^{2}+2-(x+y)-(x-y)-2(x^{2}-y^{2})=4y^{2}-2x+2=E'(x,y)$

iar din $(1) \Rightarrow y^{2}\geqslant x^{2}-1$ , deci

 $E'(x,y)=3y^{2}+y^{2}-2x+2\geqslant 3y^{2}+(x^{2}-1)-2x+2=3y^{2}+(x-1)^{2}\geqslant 0$.

                   Egalitatea are loc d.d. $y=0$ si $x-1=0$, adica $a=1=b$.

$\blacksquare$