Problema E:13238 GMB 7/2006, pag 379

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Raspuns CP :  Egalitate d.d. $a=1$ si $b=1$.

Rezolvare CP

                  Notam $E(a,b)=a^{2}+b^{2}+2-a-b-2ab$ si avem de aratat ca $E(a,b)\geqslant 0$.
Fie $a=x+y$ si $b=x-y$ ($x$ si $y$ sunt unic determinati de $a$ si $b$ prin $x=\frac{a+b}{2}$, $y=\frac{a-b}{2}$). Conditia $ab\leqslant 1$ se scrie

(1)                     $x^{2}-y^{2}\leqslant 1$.

In noile variabile avem $E(a,b)=(x+y)^{2}+(x-y)^{2}+2-(x+y)-(x-y)-2(x^{2}-y^{2})=4y^{2}-2x+2=E'(x,y)$

iar din $(1) \Rightarrow y^{2}\geqslant x^{2}-1$ , deci

 $E'(x,y)=3y^{2}+y^{2}-2x+2\geqslant 3y^{2}+(x^{2}-1)-2x+2=3y^{2}+(x-1)^{2}\geqslant 0$.

                   Egalitatea are loc d.d. $y=0$ si $x-1=0$, adica $a=1=b$.

$\blacksquare$