Processing math: 0%

duminică, 20 ianuarie 2019

Problema E:13242 GMB 7/2006 pentru Clasa a VIII-a

        La pag. 380

        Figura CP












      Raspuns CP    a) C'S=10 cm ;
                              b)  d(N,pl(A'C'M))=\frac {2}{3} cm


Rezolvare CP

      a) In planul (A'B'C'D') construim patratul A'D'EF.



 Dreapta BN trece prin punctul F deoarece ABA'F este paralelogram (avand [AB] \parallel si \equiv [FA'] ) in care [AA'] este una din diagonale iar mijlocul ei N este centrul acestui paralelogram; atunci a doua diagonala [BF]trece tot prin N.
Prelungim segmentul [EF] dincolo de punctul F cu inca o jumatate din [EF], adica FS=\frac{EF}{2}=2 cm. Acum avem [FS] \parallel si \equiv [MB] deci BMFS este paralelogram, si atunci diagonala lui [MS] trece prin mijlocul N al diagonalei [BF]. Astfel S este punctul cautat MN \cap (A'B'C').
        Cum C'D=D'E=4 cm avem C'E=8 cm, iar ES=EF+FS=4+2=
=6 cm si atunci, cu teorema Pitagora obtinem
 C'S= \sqrt{C'E^{2}+ES^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10cm.

       b)  Prin punctul M ducem paralela la dreapta C'A';


ea este \parallel si cu CA deci trece prin mijlocul P al lui [AB] ( iar mai departe taie dreapta AD in punctul R astfel incat [AR] \parallel si \equiv [MB] , cum se vede usor din paralelogramul ARBM). Astfel planul (A'C'M) sectioneaza cubul dupa trapezul A'C'MP.
         In triunghiul dreptunghic_si_isoscel APR sa ducem AT \perp RP; avem imediat,


 cu te0rema_celor_3_perpendiculare, ca A'T \perp RP. Din MT \perp pl(A'AT) si cum pl(A'C'M) trece prin MT rezulta pl(A'C'M) \perp pl(A'AT) iar muchia lor de intersectie este dreapta A'T.
         Daca ducem acum NV \perp A'T vom avea NV \perp pl(A'C'M) deci NV este segmentul_distanta de la punctul N la planul A'C'M). Evident NV=\frac{AU}{2}, unde AU este inaltimea din A in triunghiul A'AT; calcule simple conduc la valoarea
AU=\frac{AA' \cdot AT}{A'T}=\frac {4\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\frac{4}{3}
si rezulta NV=\frac{2}{3}.
\blacksquare

Remarca CP
          Prin cateva ingrediente de Geometrie_analitica (in spatiu) distanta cautata la punctul b) se poate determina - ca valoare, si ca pozitie - relativ simplu.
   
Ecuatia planului (A'C'M) este
 \begin{vmatrix}  &x  &y  &z &1 \\  &4  &0  &4 &1 \\  &0  &4  &4 &1\\  &2  &4  &0 &1 \end{vmatrix} =0,
sau, scazand Linia_4 din L_1,2,3

\begin{vmatrix}  &x-2  &y-4  &z &0 \\  &2  &-4  &4 &0 \\  &-2  &0  &4 &0\\  &2  &4  &0 &1 \end{vmatrix} =0, care dezvoltat dupa Col_4 este

  \begin{vmatrix}  &x-2  &y-4  &z  \\  &2  &-4  &4  \\  &-2  &0  &4 \end{vmatrix}=0; simplificand cu 2 L_2 si L_3 obtinem

\begin{vmatrix}  &x-2  &y-4  &z  \\  &1  &-2  &2  \\  &-1  &0  &2 \end{vmatrix}=0, apoi adunam 2\cdotC_1 la C_3

\begin{vmatrix}  &x-2  &y-4  &z+2(x-2)  \\  &1  &-2  &4 \\  &-1  &0  &0 \end{vmatrix}=0, care dezvoltat dupa L_3 conduce imediat la

(1)                                                        2x+2y+z-12=0.
       Atunci distanta de la punctul N(4,0,2) la planul de mai sus are valoarea
d(N,pl(A'C'N)) =\frac {\left | 2\cdot 4+2\cdot 0+1\cdot 2 -12 \right |}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{3}.
       Pentru a preciza aceasta distanta, fie \overrightarrow{n}=(2,2,1) - dedus din ecuatia (1) - un vector normal la planul (A'C'M). Ecuatiile perpendicularei dusa intr-un punct curent P(u,v,12-2u-2v) al planului (1) vor fi
(2)                 \begin{cases}  &  x=u+2t \\  & y=v+2t \\ &z= 12-2u-2v+t \end{cases}, unde t \in \mathbb{R}.
Dreapta (2) trece prin punctul N(4,0,2) atunci cand \begin{cases}  &  4=u+2t \\  & 0=v+2t \\ &2= 12-2u-2v+t \end{cases}, de unde obtinem  t=-\frac{2}{9}u=\frac{40}{9}, v=\frac{4}{9}, adica piciorul perpendicularei din N pe planul (1) este P_{0}=(\frac{40}{9},\frac{4}{9},\frac{20}{9}), etc.



Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu