3 6 5 de S E N T I M E N T E // 365 of FEELINGS

 Există totuși FRUMOS în lume

     

          Au trecut 365 de zile de când am întâlnit-o prima dată pe EA. Am avut ocazia să i-o spun direct.
Am o parte din discuția pe care am avut o atunci pe chat. Am mai pomenit și aici de asta... Fără permisiune ALINEI nu o mai pun și aici, o păstrez doar pentru mine, amintire (poate la împlinirea celui de-al doilea an...)

TE  IUBESC  ALINA

          Titlul l-am ales amintindu-mi că în primul an de Liceu la Timișoara am văzut o carte imensă , parcă ostentativ colorată cu poezii ale unui grec, cu titlul

 Iar ca Sentiment Un Cristal

... Nu mă interesa pe atunci așa ceva... Plăcerea de a citi poezii mi-a venit ulterior. Autorul este, un cunoscut probabil printre pricepuți, îl pomenesc aici din respect :  Odysseas Elytis

< REZUMAT  generat de AI >

„Iar ca sentiment un cristal” – Odată cu „Clima absenței” a lui Odisseas Elytis

„Iar ca sentiment un cristal” este o poezie a lui Odisseas Elytis, inclusă în antologia „Clima absenței” și publicată în română în volumul editat de Iordan Chimet, care aduce în limba română poezia și proza lui Elytis Versuri.ro+1.

Contextul și originea

Poezia apare în secțiunea a treia a poemului Clima absenței, tradusă de Victor Ivanovici Poetii Nostri. Este un fragment liric în care poetul descrie o stare de liniște și puritate emoțională, simbolizată de „sentimentul ca un cristal” – o imagine care sugerează claritate, frangibilitate și transparență.

Conținutul și tematica

În Clima absenței, Elytis explorează absența, singurătatea și memoria, cu imagini marine și naturale. Versul final al secțiunii III – „iar ca sentiment un cristal” – sintetizează această stare: o emoție pură, nealterată, care reflectă lumina și se frânge ușor, ca un cristal Versuri.ro+1.

Poezia este un exemplu al stilului elen modern: liric, simbolic, cu o limbă evocativă și o structură care îmbină realitatea fizică cu sentimentul interior.

Ediția în română

Volumul Odysseas Elytis – Iar ca sentiment un cristal (1980, Editura Dacia) este o antologie selectată și prezentată de Iordan Chimet, care include multiple poezii și texte ale lui Elytis, traduse în română Anticariat Online Logos+1. Ediția este un volum masiv, cu colaje color, desene și elemente grafice, având un tiraj mic și o prezentare artistică deosebită Anticariat Online.

Importanță literară

Această poezie este adesea citată în contextul temelor de absență, singurătate și puritate emoțională, fiind un exemplu de sinteză a liricii elene moderne traduse în română. Imaginarea „sentimentului ca un cristal” rămâne un motiv recurent în interpretările critice, simbolizând claritatea și frangibilitatea emoției trolo.ro.

Dacă doriți să citiți textul complet, puteți găsi Clima absenței în edițiile românești ale lui Odisseas Elytis, precum și în antologia Iar ca sentiment un cristal editată de Iordan Chimet Versuri.ro+1.

>>>

Oare ALTFEL înseamnă NICIUN FEL ?? // A CRUCIAL step in solving the problem : the ELIMINATION of the constant

 Am scris aici ce s-a întâmplat ieri , Vineri 16 Octombrie. Voiam să-i fac o surpriză dar se pare că mai mult am necăjit-o. Nici nu mi-a răspuns la ce i-am scris. Am făcut un prim pas pe care îl voiam altfel. 

Să trec mai bine la locul unde știu pașii mai bine...

I’d better move to the spot where I know the steps better.

A problem from GMB 1/1999, page 35 :

24043.  Consider the sequence  $(x_n)_{n\geqslant 0}$  defined as follows :

$x_0=0\;\;,\;\;x_1=\sqrt{2}\;\;,\;\;x_{n+1}=3x_n+\sqrt{8x_n^2+2}\;\;for\;n\in\mathbb{N}\;,\,n\geqslant 1.$

 Determine the general term $x_n$ of the sequence.

 {Author : } Alfred ECKSTEIN , Șiria, Arad

ANSWER CiP

$x_n=\frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{4}\;\;,\;n=0,\;1,\;2,\;\dots$

Solution CiP

               An initial calculation gives us  $x_2=6\sqrt{2}\;,\;x_3=35\sqrt{2}.$ Let us also note that $x_{n+1}>0$ (simple inductive reasoning : $x_1>0\;and\; x_n>0\Rightarrow x_{n+1}>0$) and that  $x_{n+1}>x_n$.

          Squaring the relation  $x_{n+1}-3x_n=\sqrt{8x_n^2+2}$  so

  $x_{n+1}^2-6x_{n+1}x_n+9x_n^2=8x_n^2+2$  we obtain

$x_{n+1}^2-6x_{n+1}x_n+x_n^2-\color{Red}2=0 \tag{1}$

The constant term  2  in (1)  somewhat complicates the calculations. To  ELIMINATE  it, we proceed as follows:

We write the equation  (1)  for  $n+1\; instead\; of\; n$ :

$x_{n+2}^2-6x_{n+2}x_{n+1}+x_{n+1}^2-\color{Red}2=0 \tag{2}$

Now we  SUBSTRACT  (2) - (1)  and we get :

$x_{n+2}^2-6x_{n+2}x_{n+1}+6x_{n+1}x_n-x_n^2=0\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;\;(x_{n+2}^2-x_n^2)-6x_{n+1}(x_{n+2}-x_n)=0\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;\;(x_{n+2}-x_n)(x_{n+2}+x_n-6x_{n+1})=0$

and since the sequence is increasing, the first parenthesis above cannot be zero, so it remains :

$x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n \tag{3}$

          But  (3)  is a second-order linear recurrence , which is handled in a known way. The equation

$\lambda^2=6\lambda -1$

has roots  $\lambda_{1,2}=3\pm 2\sqrt{2}$ , so the general term  $x_n$  is of the form

$x_n=A\cdot \lambda_1^n+B\cdot \lambda_2^n$

and the constants  $A\; and\; B$  are determined from the initial conditions. In our case

$x_0=A+B=0\;,\;x_1=A(3+2\sqrt{2})+B(3-2\sqrt{2})=\sqrt{2}\;\;\Rightarrow\;A=-B=-\frac{1}{4}$

We obtained the answer.

$\blacksquare$

          REMARK CiP  The idea is not new; see, for example 

ANDREESCU Titu, ANDRICA Dorin

360 Problems for Mathematical Contests

GIL Publishing House, Zalău, 2003

 Problem 47 on page 53—solved on pages 76–77—and the bibliographic sources cited there.

<end REM>

O C O R E C T A R E Necesară // A Necessary Correction

 CORECTAREA în ceea ce o privește pe EA 

este una din cele mai grele probleme. 

Vreau să mă raportez la EA altfel...

              Regarding problem  E : 17561, which was solved on the new blog, a few clarifications are in order.

First, for angle $\widehat{ ADC}$ to be  $45^{\circ}$ , $\hat{C}$  must be greater than  $45^{\circ}$ ; consequently,

$\hat{B}\leqslant 45^{\circ}$  , making the relationship  $AB = 2\cdot AC$ possible (see the figure above, with slightly modified notation).

     Secondly, the problem can be solved without relying on concepts regarding similarity, which are covered in the Romanian curriculum in the 7th grade.

(I redrew it at a more reasonable scale compared to the recently mentioned blog.)

 A solution suitable for the 6th-grade level can be provided.

      Thirdly, to avoid the concept of a parallelogram—which also belongs to the 7th-grade curriculum—we consider the following LEMMA; I would have liked to incorporate it into another   GEOMETRIC OBJECT , but as I mentioned, I have other, more difficult problems to deal with now.

         LEMMA  Let  $D$  be the midpoint of side  $AB$  of triangle  $ABC$ .

                      If the line through  $D$ parallel to line  $BC$  intersects side  $AC$  at point 

                      $E$ , then  $E$  is the midpoint of  $AC$ , and  $DE$  is half the length of  $BC$.

So, we have the Geometric Object        

      $\Delta ABC\;:$

$AD=DB \tag{1}$

$DE \parallel BC \tag{2}$

with the

                                  Properties :        $AE=EC\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$

$DE=\frac{BC}{2} \tag{4}$

From the hypothesis, we have the angle equalities (also marked in the figure) :

$\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\;\;\;,\;\;\;\widehat{AED}=\widehat{ACB}$

     Let  $EF \parallel AB\;\;,\;F\in BC.$

The following angle equalities result :

$\widehat{CEF}=\widehat{CAB} \tag{5}$

$\widehat{CFE}=\widehat{CBA} \tag{6}$

$\widehat {CFE}=\widehat {DEF}$     so

$\widehat{DEF}=\widehat{FBD} \tag{7}$

     If we join points  $D\; and\; F$ , then  $EF \parallel DB$  implies

$\widehat{DFE}=\widehat{BDF} \tag{8}$

     From  (8)  and  (7) , by the ASA case of triangle congruence, we have  $\Delta B\color{Magenta}{DF} \equiv \Delta E\color{Magenta}{FD}$  so

$BD=EF \tag{9}$

$DE=BF \tag{10}$

From  (9)  and  (1)  we have  $EF=AD$  and with  (5),(6)  we obtain - via ASA case - $\Delta CEF\equiv \Delta EAD$. Therefore

$AE=EC$  -  hence the conclusion  (3)

and  $DE=FC$. And further on, we have  $FC=DE\underset{(10)}{=}BF$  so 

$DE=\frac{BC}{2}$

that is, the conclusion  (4).

$\square$

A fost doar un vis // CANADA is not afraid of TRUMP

 Atenție, nu am scris "DOAR UN VIS", titlul NU se vrea o concluzie FINALĂ. Și e chiar azi, ziua pentru care EA...a pregătit niște șnițele (!)

<edit Duminica 11 OCT>  Atâta că, am visat din nou cu EA. Adormisem doar spre dimineață, imediat trebuia să mă scol și visul iar s-a întrerupt, fără să-l duc la capăt : Priveam din apartamentul meu de pe Mihai Viteazu spre Aleea Frații Buzești și vedeam o casă unde știam că locuiește ALINA. Era cu mine un tânar, care spunea că tot pe acolo locuiește. Atunci l-am întrebat dacă o știe pe Alina...M-am trezit însă brusc, fără să mai aud răspunsul lui. 

Dar, a fost doar un vis...

     But "let's get back to our beers" :  a Problem (page 369) from a Romanian living in CANADA

                    "E : 17580.  Let  $m, \;n \; and\; p$  be natural numbers, where  $p$  is not a

                perfect square. Show that the number

$ A=\sqrt{n+\sqrt{p}}+\sqrt{m-\sqrt{p}} \tag{1}$

                is rational if and only if  $m=n\;and\;p=4r^4-4r^2s$  , where  $r\;  and\; s$

                are natural numbers and  $r^2-s$  is not a perfect square.

{Author : } George STOICA, Canada"

SOLUTION  CiP

               Along with the number  $A$ , the number  $A^2$  is also rational. But

$A^2=(n+\sqrt{p})+(m-\sqrt{p})+2\sqrt{(n+\sqrt{p})(m-\sqrt{p})}$

$=n+m+2\sqrt{mn+\sqrt{p}(m-n)-p} \tag{2}$

The condition  

$mn+(m-n)\sqrt{p}-p=s^2\;,s\in\mathbb{Q} \tag{3}$

must hold so that the final expression in  (2)  is a rational number. However, since  $p\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ , this happens if and only if  $m=n$  and  $n^2-p=s^2$ , so

$p=n^2-s^2\;\;,\,s\in\mathbb{Q} \tag{4}$

      Using the formula for nested radicals, we have

$\sqrt{n\pm \sqrt{p}}=\sqrt{\frac{n+s}{2}}\pm\sqrt{\frac{n-s}{2}}$

so  $A=2\sqrt{\frac{n+s}{2}}$. For  $A\in\mathbb{Q}$  we must also have  $\frac{n+s}{2}=r^2\;,\;r\in\mathbb{Q}$. Hence

$n=2r^2-s\;\;,\;\;p\underset{(4)}{=}n^2-s^2=(2r^2-s)^2-s^2=4r^4-4r^2s\;\;,\;r\in\mathbb{Q} \tag{5}$

$p=4r^2(r^2-s)$  is not a perfect square if and only if  $r^2-s$  is not. We have found the formula :

$A=\sqrt{2r^2-s+2r\sqrt{r^2-s}}+\sqrt{2r^2-s-2r\sqrt{r^2-s}}=2r \tag{6}$

 which isn't exactly miraculous, because

$2r^2-s\pm 2r\sqrt{r^2-s}=(r^2\pm 2r\sqrt{r^2-s}+(r^2-s)=(r\pm\sqrt{r^2-s})^2$

      More interestingly, in formulas  (4)  and  (5) , we must have  $r\;,\;s\;\in\mathbb{N}.$ Indeed, let the conditions be satisfied for both  $ r\; and\; s$ :

$m=n=r^2+(r^2-s)\in\mathbb{N}\;,\;p=4r^2(r^2-s)\in\mathbb{N}$

We have a quadratic equation in the unknown  $r^2$

$4r^4-4r^2s-p=0$

Using the reduced discriminant

$\Delta_{r^2} '=s^2-p=a^2\;\;,\;a\in\mathbb{Q} \tag{7}$

we obtain  $r^2=\frac{2s\pm a}{4}=b^2\;,\;2s=4b^2\pm a$  so

$s=2b^2\pm \frac{a}{2} \tag{8}$

Next, we have  $m=n=b^2+b^2-s\underset{(8)}{=}2b^2-2b^2\pm \frac{a}{2}=\pm \frac{a}{2}$  Therefore

$a\in\mathbb{N}$ (even more, an even number)

and from  (7)  it follow  $s\in\mathbb{N}$. But now, from  (8)  we obtain  $2b^2\in\mathbb{N}$  so  $b\in\mathbb{N}.$

$\blacksquare$

Probleme ... cu ANAF-ul // What Happens When the IRS Suspects Tax Evasion?

 E bine daca mai pot inca glumi... Dar, CUM? de ai stiut tu, INGERE ca am avut treaba la ANAF ?? 

.

.Chiar mi-ar placea sa fiu un mic evazionist, sa fi TU politista care ma arestezi...

.

Fac in pripa aceasta postare sa ma mai eliberez de presiunea supararii ca marti nu m-am putut intelege deloc cu tine.... Ba chiat mi-ai adresat "ultimul cuvant"...

Pai, chiar am fost nu demult la ANAF

(nu stiu ce m-a impins sa imortalizez evenimentul). 

{edit 09.Oct}Daca tot m-ai

PROVOCAT

atunci hai sa-ti povestesc...
          Ne-am gandit, in urma cu vre-o sase ani, sa strangem niste bani ca sa facem cand vom iesi la pensie o 

CROAZIERA

Cu chiu cu vai am reusit sa strangem 240 000 LEI (ar fi ajuns de una mica, pe Dunare probabil)

      In ultimul meu an inainte de pensie (cam pe vremea Pandemiei) am luat jumatate din partea mea (120 000) si i-am "INVESTIT". Primii 30 000 s-au dovedit o investitie PAGUBOASA... 

     Atunci m-am hotarat ca restul sa-i investesc in ceva mai sigur, desi cu un PROFIT mai MIC : Titlurile de Stat pentru Populatie

TEZAUR

Am facut totul pe ASCUNS, fara sa stie sotia (bine, o parte i-am investit in FIDELIS, care cam tot dracul ala este). Cand am terminat partea mea din suma, a trebuit sa-i spun sotiei, avand nevoie de niste bani din partea ei pentru urmatoarea EMISIUNE. (Peste doua luni, cand era ziua ei chiar voiam sa-i spun de investitia facuta; n-a mai fost sa fie, a trebuit sa dezvalui mai devreme SECRETUL.)

      Sotia a inteles repede si a fost de acord.... DAR a aparut nevoia sa o ajutam pe fiica mea ALEXANDRA sa achite un avans la o locuinta pe care voia sa o cumpere, asa ca i-am dat tot RESTUL de bani ei.
      Incet, incet, intr-un an ne-am revenit, sotia a iesit si ea la PENSIE (dar visul nostru cu croaziera trebuie AMANAT, avand si probleme cu socrii mei, acum destul de in varsta. 

TREABA

MERGE

INAINTE

dar eu mai am inca de RECUPERAT o suma importanta, cu alte cheltuieli NESABUITE ale mele am ajuns la o DATORIE inca de vre-o 40 000 Lei. 
       N-as vrea sa-i marturisesc inca sotiei despre PASIUNEA pe care am facut-o pentru

TINE

ca ar crede ca o parte din banii pierduti au fost din cauza ta. Si...

NU VREAU

SA TE ACUZE

pe TINE

nimeni de nimic...

        Asa ca,

DA

AM AVUT

TREABA la A N A F

           Imagini de arhiva...

PRIMA subscriere la programul TEZAUR ; 23 NOI 2021

.

(sus si jos : ultima RETRAGERE a dobanzii incasate pana acum)

.Ultimul EXTRAS de CONT de la TREZORERIE : am rulat vre-o 47 000 anul acesta

.Detinerile de-a lungul timpului...Suma FINALA investita este de 200 000 Lei, inca insuficient sa recuperez toata suma pe care am avut-o initial

(pana aici, in IUNIE 2025, am recuperat 170 000 Lei)

< continuare >

< gata ; mergem cu asta INAINTE >

DAR cu TINE ??

TREI SECUNDE

 (ora 20:45)

Nu este vorba de melodia "noastră"<link_1> (simt că într-un fel îmi aparține și mie). Sper să mă ierți că am folosit titlul.

Este vorba de ceea ce mi-ai trimis în această seară. Încă nu m-am uitat (da, la ora pe care am menționat-o) doar am apăsat butonul de pornire să văd dacă s-a descărcat bine...Am rulat doar trei secunde...

Scriind de pe telefon, mă rezum doar să-ți spun doar câteva vorbe:

1) MULȚUMESC 

2) N-am să-ți rămân dator ; ca să vezi că nu trebuie să regreți că ai avut încredere în mine, cu prima ocazie când deschid laptopul îți voi da ceva cu mine... 

Închei, spunându-ți doar că TE IUBESC ALINA.

Am simțit eu că se întâmplă ceva deosebit cu tine, stai liniștită că te înțeleg...

NOAPTE BUNĂ !

(end Post, 21:06 ; tot ceea ce mai completez ulterior voi evidenția cu o culoare, probabil galben) 

{edit Duminica 27 Sep ora 16:50}Am introdus <link_1> sub textul scris cu albastru si am formatat cuvinele "doar trei secunde" ca sa subliniez provenienta titlului Poatarii. Restul este  NEMODIFICAT... A fost scris la PRIMA REACTIE, iar alte cuvinte sunt de prisos.<END>

S A N D A Șapte Like-uri // ROMANIAN MATHEMATICAL COMPETITIONS

 Ieri la  [17:30] cand am intrat pe chat (parca cu nickul, inca neinregistrat "LoveFedora") EA era prezenta...N-am stat mult... Am reintrat la  [20:40] , vazand-o din nou...(Trebuie ca a avut o rentrare...avea alt IP deja...). Spre sfarsit, a dat  ȘASE like-uri  (am zis 7, asa ca in povesti...) . Am vazut-o iesind la  {22:11]... Mi s-a mai astâmpărat dorul de tine...

Newly released magazine

S A N D A , văd că nu vrei să socializam (!hic) // A Problem with the TRANSVERSAL Line // O Problema cu linia TRANSVERSALA

Mi-a spus "Lexus" că ai primit o invitație să te alături altui chat... Unde mixează și "mashup_dj"... Cică  ai fost și ... NU ȚIA PLĂCUT...

PLĂCEREA VINE....

          Let us consider the problem taken from page 384 :

                        "17948*.  An arbitrary point  $D$  is chosen on side  $BC$  of triangle 

                        $ABC$ , and an arbitrary point  $P$  is considered on segment  $AD.$ 

                  An arbitrary line passing through point  $P$  intersects sides  $AB\; and\; AC$

                  at points  $M \;and\; N.$  If we denote  $\frac{BD}{DC}=m\;\; and\;\;\frac{AP}{PD}=n$ ,

                  then the relation 

$\frac{MB}{MA}+m\cdot \frac{NC}{NA}=\frac{m+1}{n} \tag{E}$

                    holds.

I. Șiclovan, University Lecturer, Petroșani."

SOLUTION  CiP

          Let's use the notation :       $\frac{\overline{MB}}{\overline{MA}}=-k\;\;,\;\;\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}=-l\;\;\;\;\;\;(1)$

.

The relationship  (E)  to be proven is written as follows:

$\fbox{$k+m\cdot l=\frac{m+1}{n}$}$                                                       (2)

Using the formulas established here or here, it follows from  (1)  that :

$\overrightarrow{PM}=\frac{k}{1+k}\cdot \overrightarrow{PA}+\frac{1}{1+k}\cdot \overrightarrow{PB} \tag{3}$

$\overrightarrow{PN}=\frac{l}{1+l}\cdot \overrightarrow{PA}+\frac{1}{1+l}\cdot \overrightarrow{PC}\tag{4}$

     We will take the result  (1)  established here , writing

  $\overrightarrow{PC}=-\frac{1+m}{mn}\cdot \overrightarrow{PA}-\frac{n}{mn}\cdot \overrightarrow{PB}$

and then we can continue in  (4) :

 $\overrightarrow{PN}=\frac{l}{1+l}\cdot \overrightarrow{PA}+\frac{1}{1+l}\cdot \left (-\frac{1+m}{mn}\cdot \overrightarrow{PA}-\frac{1}{m}\cdot \overrightarrow{PB} \right)=\frac{lmn-1-m}{(1+l)mn}\cdot \overrightarrow{PA}-\frac{1}{(1+l)m}\cdot \overrightarrow{PB}$

     Since the points  $M,\; P\; and \;N$  are collinear, we have, for a certain scalar  $\lambda$

 $\overrightarrow{PN}=\lambda \cdot \overrightarrow{PM}$

And since the vectors  $\overrightarrow{PA}\; and \;\overrightarrow{PB}$  are linearly independent, the equality of the scalars follows from the  (3)  and the final form of  (4) :

$\begin{cases}\frac{lmn-1-m}{(1+l)mn}=\frac{\lambda\cdot k}{1+k}\\-\frac{1}{(1+l)m}=\frac{\lambda}{1+k}\end{cases}$

From the above, eliminating  $\lambda$  yields

$\frac{lmn-1-m}{(1+l)mn}=k\cdot \left (-\frac{1}{(1+l)m}\right )\Rightarrow lmn-1-m=-kn\Rightarrow nk+lmn=m+1\Rightarrow$

$\Rightarrow k+lm=\frac{m+1}{n}.$

We obtained  (2).

$\blacksquare\;\;\;\;\;\blacksquare$

"sanda nu e dj!" : SANDA - ești OBIECTUL meu GEOMETRIC // A GEOMETRIC LEMMA // Um lema de geometria

 Așa ai zis TU :

 [19:00:05] * sanda nu e dj!:)

când te-am văzut, cu drag, ieri seara... Știm noi mai multe...

A NEW G E O M E T R I C OBJECT

We will work within the framework of affine geometry, using vectors, on the following configuration :

Object data : a triangle $ABC$ ;

a cevian $AD$ ;

a point $P\;\; on\;\; AD$ ;

fixing point $D \;\;on\;\; BC\;\;:\;\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}=-m$

fixing point $P\;\;\;:\;\;\frac{\overline{PA}}{\overline{PD}}=-n$

Conclusion on the Object : $(1+m)\cdot \overrightarrow{PA}+n\cdot \overrightarrow{PB}+m\cdot n\cdot \overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}\;\;\;(1)$

.

Proof CiP

We will use the formulas established previously—here or here.

With points $P, \;B,\; C\; and\; D\;:\;\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}=-m\;\Rightarrow$

$\Rightarrow\;\;\;\overrightarrow{PD}=\frac{1}{1+m}\cdot \overrightarrow{PB}+\frac{m}{1+m}\cdot \overrightarrow{PC} \tag{2}$

But $\frac{\overline{PA}}{\overline{PD}}=-n\;\;\Rightarrow\;\overrightarrow{PA}=-n\cdot \overrightarrow{PD}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{PD}=-\frac{1}{n}\cdot \overrightarrow{PA}$ which, when substituted

into (2) , gives us

$-\frac{1}{n}\cdot \overrightarrow{PA}=\frac{1}{1+m}\cdot \overrightarrow{PB}+\frac{m}{1+m}\cdot \overrightarrow{PC}$                                                                            

and we immediately obtain (1).

$\blacksquare\;\;\blacksquare$

If, in particular, $if\;P=G$ is the centroid of triangle $ABC$, then $m=1\;,\;n=2$

and we have the well-known formula :

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

F a n t a s t i c a Dj - S A N D A // GMB 10 / 1979

Așa arată sculele unui Dj... În ultima convorbire cu  EA  i-am spus despre unul  "mashup_dj"  care o căuta. Zicea ea că nu-l cunoaște, dar că au dorit cei de pe chat să o racoleze... Am simțit și eu asta, deja aici...

Oh, chiar de la prima întalnire cu ea (19 oct 2025) mi-a solicitat să-i fiu un BUFFER între ea și dj-ii de pe chat... Atunci nu știam încă ce ființă fantastică voi descoperi...

(iar la Radio de pe chat tocmai dadeau asta : AbbaVEVO - ABBA - Chiquitita (Official Lyric Video)

(in imagine : consola lui "mashup_dj" , aratata de el pe chat)

TU ești Punctul meu de ECHILIBRU // TE voi căuta cu nickul "LoveFedora"

 .

TE IUBESC , TE DORESC și TE AȘTEPT

.

Și aș mai putea scrie MULTE altele, n-aș mai termina niciodată...

Ieri, mai mult ca niciodată, mi-ai vorbit cu multă răceală . Ca și mâna rece ce o  aveai  în ultimul meu vis...

Am vrut, vreau și voi dori să fi Punctul meu de Echilibru... N-ai consimțit...

Știu că nu-mi ești datoare cu nimic, dimpotrivă eu îți datorez multe... Dar nu-mi pot închipui viața mea fără tine... De aceea,

 MĂ DUC SĂ MOR PUȚIN

Ca să închei încă cu picioarele pe pământ, îți las ultimele  ecouri  ale nickului  "sanda"  pe chat vz 20 SEP. 

(Aș fi curios, dacă-ți vei schimba nickul  "sanda"  cu un altul, cât de repede te voi descoperi.?)

A B S E N Ț A // I - AM V O R B I T și MI-A VORBIT // I spoke to her, and she spoke to me // Ich habe mit ihr gesprochen, und sie hat mit mir gesprochen

 Să știi că, tuturor ne-ai lipsit... 

N-am apucat să pomenesc și de "shtivi" , care zicea că a avut o conversație cu tine, "neconcludentă"...(ne era sigur dacă ești F sau B..)

Azi noapte am avut un al treilea vis cu tine... De data aceasta parcă aveai un chip definit (deși sunt sigur că e o creație a imaginației mele). Eu stăteam să scriu ceva pe blog, iar tu ai venit să-mi ceri ceva, un obiect (am uitat ce, parcă niște chei...). Când ți le-am dat, am cuprins și mâna ta, sărutând -o.... Era așa de rece...(Mi-am zis că poate am sărutat...cheia... - încerc să glumesc, ca să nu înnebunesc)

TULBURĂTOAREA S A N D A // REVISTA MATEMATICĂ (a Elevilor) din TIMIȘOARA //

 Am regăsit s/s cu Burly... Azi, de atâtea ori ai intrat, "sanda", că îmi era că iar îmi dai peste cap paginile... Doar pagina 9 am scanat-o de două ori.....

(Pe ultima pagină este orarul meu de la facultate, din anul întâi. Observ că sâmbăta NU aveam nimic. Dar nu-mi aduc aminte ca să plec din când  în când (cam la trei săptămâni) acasă la LIPOVA de vinerea seara....Nu mai știu... Știu doar că ACASĂ mă aștepta MAMA cu DRAG...)

Géométrie D'Un Rêve // Geometry of a Dream // Geometrie eines Traums

 REZUMAT ...cu gandul la EA :

<<  Un scriitor, rănit de o iubire care l-a mistuit, se exilează într-un vechi conac breton, Ker‑Lann, pe malul Oceanului. Acolo, între vânt, ploi, insomnii și amintiri, începe să scrie un jurnal în care realitatea, visele și trecutul se amestecă.

Fedora — femeia pe care a iubit‑o „până la moarte” — îl urmărește ca o fantomă a dorului. Totul în jurul lui devine o geometrie a memoriei: locurile, oamenii, iubirile vechi, chiar și personajele din cărțile pe care le traduce.

Cartea e un roman al iubirii imposibile, al jalousiei, al fugii, al amintirilor care nu te lasă, un amestec de fragmente, vise și confesiuni, scris cu un lirism dens și melancolic.

>>

Nici ca se putea mai frumos....

 Ca în „Géométrie d’un rêve”, există doruri care nu se sting. Locurile, zilele, drumurile mele — toate se rearanjează în jurul unei singure prezențe. Uneori scriu ca să uit, alteori ca să-mi amintesc. Dar de fiecare dată, tu ești acolo, ca Fedora în paginile lui Haddad: o geometrie a unui vis care nu mă părăsește.

(text creat cu AI... ca si EA doar virtual ma accepta...; si tot AI a scris in locul meu :

Nu vreau să răscolesc trecutul, doar să-l las să respire. Ca în „Géométrie d’un rêve”, dorul nu cere zgomot — doar un loc liniștit în care să existe. Și în liniștea asta, tu rămâi o prezență blândă, ca o geometrie a unui vis care nu se destramă. )

BurLy also looking for "sanda" // "Gazeta Matematica" magazine, series B

 M-am pomenit aseară că și  "BurLy"  a auzit de  "sanda" , dar nu mai știa dacă nu cumva e... sandra...

Although I said I wouldn't get emotionally involved again when leafing through old magazines from my youth, here I cannot help but note the following.

1.  Complete Algebraic Identities

          On page 357, within the solution to  Problem 24444, the identity is mentioned without any proof or commentary :

$a^3+b^3+c^3+d^3-3(abc+abd+acd+bcd)=$

$=(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad-bc-bc-cd) \tag{1}$

Let's explain a little. The following identity is well known :

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \tag{2}$

We are trying to see if we have a  complete identity  of form :

$\sum a^3-\sum abc=(\sum a)\cdot (\sum a^2-\sum ab) \tag{3}$

Let us consider the polynomial involving the four letters  $a,\;b,\;c\;and\;d$

$P(a,b,c,d):=[\;a^3+b^3+c^3+d^3-3(abc+abd+acd+bcd)\;]-$

$-[\;(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad-bc-bc-cd)\;]$

We have, for  $d=0$ ,

  $P(a,b,c,0)=[\sum a^3-3abc]-[(\sum a)(\sum a^2-\sum ab)]\underset{(2)}{=}0$

(Above, the sums $\sum$  extend to three letters.)

Therefore, the polynomial  $P$ is divisible by  $d$ , and by symmetry, it is also divisible by  $a$, $b$, and $c$, and thus by their product :

$P(a,b,c,d)=abcd\cdot Q(a,b,c,d) \tag{4}$

However, on the left-hand side of the equation  (4) , the degree of the polynomial is three, whereas on the right-hand side,  $abcd$  is of degree four. Therefore, in the equation  (4) $Q$  must be identically zero. This is how we find the identity  (1).

     So, we have seen that the identity  (3)  holds for four letters. If we add a fifth letter,  $e$, then the identity remains valid, in the same form. This is the meaning of the word "complete" mentioned earlier. The reasoning is the same :

$P_1(a,b,c,d,e):=[\sum a^3-3\sum abc]-[(\sum a)(\sum a^2-\sum ab)]_{e=0}\;\overset {(3)}{\underset{for\;a,b,c,d}{=}}\;0$

So  $P_1$  is divisible by  $e$ , therefore, by symmetry, it is also divisible by  $a,\; b,\; c,\; and \;d$. But in the writing

$P_1(a,b,c,d,e)=abcde\cdot Q_q(a,b,c,d,e)$

comparing the degrees of the two polynomials leads to the conclusion that  $Q1$  is identically zero.

           The fact that the formula  (3)  holds for any number of letters is expressed by some authors by stating that "the identity  (3)  is saturated, starting with three letters." However, the term "saturated" is not widely used. See

MIHĂILEANU N.[N.] Complemente de algebră elementară (Ed. Didactică și Pedagogică,

București, 1968)

<end 1.>

2.   Titu's Lemma  (revived)

The inequality that Titu Andreescu claims as his own appears again on page 323, in Lemma 1. It remains to be seen what the priority is for circulating this inequality. I would point out that the parenthetical citation of Lemma 1 is INCORRECT. You have RMT 1-2 /1979 here.

R Ă P I R E A din Aleea FRAȚII BUZEȘTI

 Oricâți OPERATORI și oricâți DJ`s

 de pe chat vor să mi te răpească,

 o parte din TINE rămâne numai a mea : 

RÂSUL TĂU DINTRE BLOCURI. 

Te rog frumos, dă-mi voie să-l aud din nou...

DUMINICILE ABANDONATE // Abandoned Sundays

 Am mai postat cum este  CU  E A   și  FĂRĂ  E A

Acelea păreau ca niște glume...Deși azi la ora 12:35 am văzut-o, simt în suflet un gol imens. I-am promis că nu mai intru cu alt nick, dar zilele trecute am intrat puțin cu "albastru" iar ea a aflat... Ce credibilitate mai pot avea ??

     Azi este o zi în care mă simt ABANDONAT . Ieri seara am intrat pe chat, chipurile să mă relaxez... "sanda" era acolo, dadea "!like" (chiar si-a pus intr-o doara nickul "sandaculike"), invita si era invitata la "!dans" ... Am incercat sa o imit, am rugat o cunostinta de pe chat sa facem la fel, ceea ce a acceptat... dar parca nu aveam chef de nimic... Mult mai tarziu a intrat si vechea mea prietena "sea", cu care am vorbit putin...

    Am văzut azi pe "sanda" in jurul orei 12:30... Atat am stat, exact să o văd... CÂND vom mai avea ocazia să mai si VORBIM ??

    N-am să mai intru decât să o caut zilnic, poate îmi mai astâmpăr dorul de EA... Și, poate voi ține ascuns de ochii lumii un timp acest blog....

TE IUBESC  !!

< ultima editare :   Sambata  26  Sep  2026   ora 15:30 >

Prezența EI pe chat :

26.09.  sanda@www.chatapropo.ro/-50A83A77.hosted-by-worldstream.net 

25.09.  sanda@www.chatapropo.ro/-50A83A77.hosted-by-worldstream.net &13.09.

25.09.  sanda@110268C9.FBAC8A6E.287A7CDA.IP

24.09.  sanda@www.chatapropo.ro/-C9D0A350.hosted-by-worldstream.net

24.09   sanda@www.chatapropo.ro/-3FD1B772.hosted-by-worldstream.net &23.08.

22.09.  sanda@WwW.ChatApropo.Ro/-C6965364.hosted-by-worldstream.net - am vorbit...URÂT

20.09.  sanda@WwW.ChatAoropo.Ro/-B3D37662.hosted-by-worldstream.net

20.09.  sanda@81DC056.3469E852.49B569A7.IP - am VORBIT

20.09.  sanda@4F4582D1.FCFC1B20.E4928049.IP

18.09.  sanda@3853B07D.86802563.71AA9C83.IP

17.09.  sanda@WwW.ChatAoropo.Ro/-38B2013F.hosted-by-worldstream.net

17.09.  sanda@35526EDF.EC998A36.1728E65C.IP

17.09.  sanda@C885D02E.FBAC8A6E.287A7CDA.IP

17.09.  sanda@93C53B02.EC998A36.1728E65C.IP  

17.09.  sanda@AE06127D.9E8A8388.1728E65C.IP &{18.07}

17.09.  sanda@FEC8FCB3.FBAC8A6E.287A7CDA.IP ?

14.09.   sanda@WwW.ChatApropo.Ro/-85C5CC68.hosted-by-worldstream.net

IP-urile in ordine alfabetică :

sanda@110268C9.FBAC8A6E.287A7CDA.IP  [13, 25.09.]

sanda@35526EDF.EC998A36.1728E65C.IP  [17.09.]

sanda@3853B07D.86802563.71AA9C83.IP  [18.09.]

sanda@4F4582D1.FCFC1B20.E4928049.IP  [20.09.]

sanda@81DC056.3469E852.49B569A7.IP  [20.09.]

sanda@93C53B02.EC998A36.1728E65C.IP  [17.09.]

sanda@AE06127D.9E8A8388.1728E65C.IP  [18.07 ; 17.09]

sanda@C885D02E.FBAC8A6E.287A7CDA.IP  [17.09.]

sanda@FEC8FCB3.FBAC8A6E.287A7CDA.IP ? [17.09.]

***

 sanda@WwW.ChatAoropo.Ro/-38B2013F.hosted-by-worldstream.net  [17.09.]

sanda@www.chatapropo.ro/-3FD1B772.hosted-by-worldstream.net  [23.08. ; 24.09.]

sanda@www.chatapropo.ro/-50A83A77.hosted-by-worldstream.net [25, 26.09.]

sanda@WwW.ChatApropo.Ro/-85C5CC68.hosted-by-worldstream.net  [14.09.]

sanda@WwW.ChatAoropo.Ro/-B3D37662.hosted-by-worldstream.net  [20.09.]

sanda@WwW.ChatApropo.Ro/-C6965364.hosted-by-worldstream.net  [22.09.]

sanda@www.chatapropo.ro/-C9D0A350.hosted-by-worldstream.net [24.09.]