A fost doar un vis // CANADA is not afraid of TRUMP

 Atenție, nu am scris "DOAR UN VIS", titlul NU se vrea o concluzie FINALĂ. Și e chiar azi, ziua pentru care EA...a pregătit niște șnițele (!)

<edit Duminica 11 OCT>  Atâta că, am visat din nou cu EA. Adormisem doar spre dimineață, imediat trebuia să mă scol și visul iar s-a întrerupt, fără să-l duc la capăt : Priveam din apartamentul meu de pe Mihai Viteazu spre Aleea Frații Buzești și vedeam o casă unde știam că locuiește ALINA. Era cu mine un tânar, care spunea că tot pe acolo locuiește. Atunci l-am întrebat dacă o știe pe Alina...M-am trezit însă brusc, fără să mai aud răspunsul lui. 

Dar, a fost doar un vis...

     But "let's get back to our beers" :  a Problem (page 369) from a Romanian living in CANADA

                    "E : 17580.  Let  $m, \;n \; and\; p$  be natural numbers, where  $p$  is not a

                perfect square. Show that the number

$ A=\sqrt{n+\sqrt{p}}+\sqrt{m-\sqrt{p}} \tag{1}$

                is rational if and only if  $m=n\;and\;p=4r^4-4r^2s$  , where  $r\;  and\; s$

                are natural numbers and  $r^2-s$  is not a perfect square.

{Author : } George STOICA, Canada"

SOLUTION  CiP

               Along with the number  $A$ , the number  $A^2$  is also rational. But

$A^2=(n+\sqrt{p})+(m-\sqrt{p})+2\sqrt{(n+\sqrt{p})(m-\sqrt{p})}$

$=n+m+2\sqrt{mn+\sqrt{p}(m-n)-p} \tag{2}$

The condition  

$mn+(m-n)\sqrt{p}-p=s^2\;,s\in\mathbb{Q} \tag{3}$

must hold so that the final expression in  (2)  is a rational number. However, since  $p\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ , this happens if and only if  $m=n$  and  $n^2-p=s^2$ , so

$p=n^2-s^2\;\;,\,s\in\mathbb{Q} \tag{4}$

      Using the formula for nested radicals, we have

$\sqrt{n\pm \sqrt{p}}=\sqrt{\frac{n+s}{2}}\pm\sqrt{\frac{n-s}{2}}$

so  $A=2\sqrt{\frac{n+s}{2}}$. For  $A\in\mathbb{Q}$  we must also have  $\frac{n+s}{2}=r^2\;,\;r\in\mathbb{Q}$. Hence

$n=2r^2-s\;\;,\;\;p\underset{(4)}{=}n^2-s^2=(2r^2-s)^2-s^2=4r^4-4r^2s\;\;,\;r\in\mathbb{Q} \tag{5}$

$p=4r^2(r^2-s)$  is not a perfect square if and only if  $r^2-s$  is not. We have found the formula :

$A=\sqrt{2r^2-s+2r\sqrt{r^2-s}}+\sqrt{2r^2-s-2r\sqrt{r^2-s}}=2r \tag{6}$

 which isn't exactly miraculous, because

$2r^2-s\pm 2r\sqrt{r^2-s}=(r^2\pm 2r\sqrt{r^2-s}+(r^2-s)=(r\pm\sqrt{r^2-s})^2$

      More interestingly, in formulas  (4)  and  (5) , we must have  $r\;,\;s\;\in\mathbb{N}.$ Indeed, let the conditions be satisfied for both  $ r\; and\; s$ :

$m=n=r^2+(r^2-s)\in\mathbb{N}\;,\;p=4r^2(r^2-s)\in\mathbb{N}$

We have a quadratic equation in the unknown  $r^2$

$4r^4-4r^2s-p=0$

Using the reduced discriminant

$\Delta_{r^2} '=s^2-p=a^2\;\;,\;a\in\mathbb{Q} \tag{7}$

we obtain  $r^2=\frac{2s\pm a}{4}=b^2\;,\;2s=4b^2\pm a$  so

$s=2b^2\pm \frac{a}{2} \tag{8}$

Next, we have  $m=n=b^2+b^2-s\underset{(8)}{=}2b^2-2b^2\pm \frac{a}{2}=\pm \frac{a}{2}$  Therefore

$a\in\mathbb{N}$ (even more, an even number)

and from  (7)  it follow  $s\in\mathbb{N}$. But now, from  (8)  we obtain  $2b^2\in\mathbb{N}$  so  $b\in\mathbb{N}.$

$\blacksquare$