Inca o Proprietate a Misteriosului Triunghi Egiptean 3--4--5

Aflati unghiul x

S-a dat la o olimpiada in Brazilia. (de aflat detalii !!)

Raspuns: $x=45^{\circ}$

Rezolvare

Folosim notatiile din figura; m($\measuredangle C$)=$\alpha$.
Evident triunghiul este dreptunghic in A, iar $\alpha \approx$37$^{\circ}$; in plus
 m($\measuredangle B$)=$90^{\circ}-\alpha$.
Avem triunghiurile isoscele ACD - cu AC=CD=4, respectiv ABE - cu AB=BE=3 .
Din primul deducem m($\measuredangle ADE$)=$90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$, iar acest unghi fiind unghi exterior in $\Delta$ABD urmeaza ca m($\measuredangle BAD$=$(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})-(90^{\circ}-{\alpha})=\frac{\alpha}{2}$.
Al doilea triunghi isoscel pomenit mai sus are unghiul de la varf m($\measuredangle B$)=$90^{\circ}-{\alpha}$ deci m($\measuredangle AED$)=$\frac{180^{\circ}-(90^{\circ}-{\alpha})}{2}$=$45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$. Acest din urma unghi este unghi exterior in $\Delta$AEC deci gasim m($\measuredangle CAE$)=($45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})-{\alpha}=45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$.
In fine $x$ este egal cu m($\measuredangle BAC$)-m($\measuredangle BAD$)-m($\measuredangle CAE$)=$=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=45^{\circ}$.