Loading web-font TeX/Math/Italic

vineri, 20 iulie 2018

GAZETA MATEMATICA Seria B N0 3/2016



pe issuu.com sau scribd.com




O problemă interesantă:

Pag. 136, Problema 1 de la clasa a VI-a (autor Vasile Pop), în cadrul concursului "Ștefan Dârțu", Vatra Dornei, 11-13 decembrie, 2015

ENUNȚ : "Fie a, b, c, d numere reale cu proprietățile \frac{a-b}{c-d}=3 și \frac{a-c}{b-d}=4.
 Să se determine numărul x=\frac{a-d}{c-b}."                                                 

RĂSPUNS CP : x=11.

Rezolvare CP : Relațiile date se scriu
(1).       a-b-3c+3d=0 ; a-4b-c+4d=0.
Dată fiind întrebarea, cautăm să exprimăm pe a și d în funcție de b și c.
Avem sistemul
(2).         a+3d=b+3c ; a+4d=4b+c.
Obținem succesiv: 4b+c=a+4d=a+3d+d=b+3c+d, iar din primul și ultimul termen deducem d=3b-2c; apoi mai departe a=b+3c-3d= =b+3c-9b+6c=-8b+9c.
Atunci x=\frac{(-8b+9c)-(3b-2c)}{c-b}=\frac{-11b+11c}{c-b}=11.
            Variantă: Relațiile date implică a-b=3(c-d) și a-c=4(b-d). Putem scrie
c-b=(a-b)-(a-c)=3c-3d-4b+4d=3c-4b+d,
 iar din egalitatea termenilor extremi deducem d=3b-2c, etc.

Observații: Am căutat o rezolvare cât mai aproape de cunoștințele unui copil de 12-13 ani. Abia prin clasa a XI-a elevii înțeleg că în sistemul de ecuații lineare (1) putem alege două necunoscute principale și două secundare în funcție de care exprimăm pe primele.
 
             GENERALIZARE :  Daca \frac{a-b}{c-d}=\alpha si \frac{a-c}{b-d}=\beta atunci \frac{a-d}{c-b}=\frac{\alpha \cdot \beta -1}{\beta-\alpha}.