ogeometrie: iulie 2018

vineri, 20 iulie 2018

GAZETA MATEMATICA Seria B N0 3/2016

O problemă interesantă:

Pag. 136, Problema 1 de la clasa a VI-a (autor Vasile Pop), în cadrul concursului "Ștefan Dârțu", Vatra Dornei, 11-13 decembrie, 2015

ENUNȚ : "Fie

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ numere reale cu proprietățile

$\frac{a-b}{c-d}=3$ și

$\frac{a-c}{b-d}=4$ .

Să se determine numărul

$x=\frac{a-d}{c-b}$ ."

RĂSPUNS CP :

$x=11$ .

Rezolvare CP : Relațiile date se scriu

(1).

$a-b-3c+3d=0$ ;

$a-4b-c+4d=0$ .

Dată fiind întrebarea, cautăm să exprimăm pe

$a$ și

$d$ în funcție de

$b$ și

$c$ .
Avem sistemul

(2).

$a+3d=b+3c$ ;

$a+4d=4b+c$ .

Obținem succesiv:

$4b+c=a+4d=a+3d+d=b+3c+d$ , iar din primul și ultimul termen deducem

$d=3b-2c$ ; apoi mai departe

$a=b+3c-3d=$

$=b+3c-9b+6c=-8b+9c$ .
Atunci

$x=\frac{(-8b+9c)-(3b-2c)}{c-b}=\frac{-11b+11c}{c-b}=11$ .

■

Variantă: Relațiile date implică

$a-b=3(c-d)$ și

$a-c=4(b-d)$ . Putem scrie

$c-b=(a-b)-(a-c)=3c-3d-4b+4d=3c-4b+d$ ,

iar din egalitatea termenilor extremi deducem

$d=3b-2c$ , etc.

Observații: Am căutat o rezolvare cât mai aproape de cunoștințele unui copil de 12-13 ani. Abia prin clasa a XI-a elevii înțeleg că în sistemul de ecuații lineare (1) putem alege două necunoscute principale și două secundare în funcție de care exprimăm pe primele.

GENERALIZARE : Daca

$\frac{a-b}{c-d}=\alpha$ si

$\frac{a-c}{b-d}=\beta$ atunci

$\frac{a-d}{c-b}=\frac{\alpha \cdot \beta -1}{\beta-\alpha}$ .