ogeometrie: iulie 2018

vineri, 20 iulie 2018

GAZETA MATEMATICA Seria B N0 3/2016

O problemă interesantă:

Pag. 136, Problema 1 de la clasa a VI-a (autor Vasile Pop), în cadrul concursului "Ștefan Dârțu", Vatra Dornei, 11-13 decembrie, 2015

ENUNȚ : "Fie $a$, $b$, $c$, $d$ numere reale cu proprietățile $\frac{a-b}{c-d}=3$ și $\frac{a-c}{b-d}=4$.

Să se determine numărul $x=\frac{a-d}{c-b}$."

RĂSPUNS CP : $x=11$.

Rezolvare CP : Relațiile date se scriu

(1). $a-b-3c+3d=0$ ; $a-4b-c+4d=0$.

Dată fiind întrebarea, cautăm să exprimăm pe $a$ și $d$ în funcție de $b$ și $c$.
Avem sistemul

(2). $a+3d=b+3c$ ; $a+4d=4b+c$.

Obținem succesiv: $4b+c=a+4d=a+3d+d=b+3c+d$, iar din primul și ultimul termen deducem $d=3b-2c$; apoi mai departe $a=b+3c-3d=$ $=b+3c-9b+6c=-8b+9c$.
Atunci $x=\frac{(-8b+9c)-(3b-2c)}{c-b}=\frac{-11b+11c}{c-b}=11$.

■

Variantă: Relațiile date implică $a-b=3(c-d)$ și $a-c=4(b-d)$. Putem scrie

$c-b=(a-b)-(a-c)=3c-3d-4b+4d=3c-4b+d$,

iar din egalitatea termenilor extremi deducem $d=3b-2c$, etc.

Observații: Am căutat o rezolvare cât mai aproape de cunoștințele unui copil de 12-13 ani. Abia prin clasa a XI-a elevii înțeleg că în sistemul de ecuații lineare (1) putem alege două necunoscute principale și două secundare în funcție de care exprimăm pe primele.

GENERALIZARE : Daca $\frac{a-b}{c-d}=\alpha$ si $\frac{a-c}{b-d}=\beta$ atunci $\frac{a-d}{c-b}=\frac{\alpha \cdot \beta -1}{\beta-\alpha}$.