Problemă propusă pentru clasa a V-a
Răspuns a) 63
b) a=5, b=2
Rezolvare
a) Notăm S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}. Calculăm 1+S și obținem
1+S=(1+1)+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=
=(2+2)+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=
=(4+4)+2^{3}+2^{4}+2^{5}=
=(8+8)+2^{4}+2^{5}=
=(16+16)+2^{5}=32+32=64 \Rightarrow S=64-1=63.
Remarcă Avem, în general, formula
1+2+2^{2}+\cdot \cdot \cdot +2^{n}=2^{n+1}-1, n \in \mathbb{N};
demonstratia decurge similar, calculând 1+S, S fiind suma dată, și observând că, la fiecare pas k obținem 2^{k}+2^{k}=2^{k+1}, k \in \mathbb{N}, rezultatul final fiind 2^{n+1}.
2020=11111100100_{2}
sau, ca sumă de puteri ale lui 2:
(\ast) 2020=2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{2}
Egalitatea cerută se scrie:
2^{a} \cdot (2^{6}-1)+2^{b}=2020
sau, ținând cont de rezultatul de la punctul a)
2^{a}\cdot (1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})+2^{b}=2020,
sau
2^{a}\cdot 1+2^{a}\cdot 2+2^{a}\cdot 2^{2}+2^{a}\cdot 2^{3}+2^{a}\cdot 2^{4}+2^{a}\cdot 2^{5}=2020,
sau încă
2^{a}+2^{a+1}+2^{a+2}+2^{a+3}+2^{a+4}+2^{a+5}+2^{b}=2020.
Din unicitatea scrierii în baza 2 (Euler, ??) a numărului 2020, și comparând cu relatia (\ast), rezultă a=5 si b=2.
\blacksquare
