ogeometrie: 2012

marți, 27 noiembrie 2012

O proprietate a treimii triunghiului echilateral

In legatura cu
Problem 759: Equilateral Triangle, Transversal, Trisection of sides, Congruence, Angle
din [1]

Raspunsul este 30 deg.

Vezi o figura

Triunghiul DAE este de tip 30-60-90.

Demonstratie

Fie F mijlocul segmentului [AD]. Avem AF/AB=AE/AC=1/3 deci FE este paralel cu BC si FE=BC/3.

In triunghiul ADE segmentul [EF] este mediana si este egal cu jumatatea laturii pe care cade. Deci unghiul AED = 90 deg. In plus triunghiul AEF este echilateral deci este imediat ca unghiul ADE are 30 deg.

sâmbătă, 11 august 2012

AOPS

_________________
$\begin{array}{cc}\sqrt\heartsuit=?&\cos\heartsuit=?\\\frac d{dx}\heartsuit=?&\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1...$

$F\{\heartsuit\}=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}f(t)e^{it\heartsuit}dt=?$

Find all the ways of placing the integers $1,2,3,\cdots,16$ in the boxes below, such that each integer appears in exactly one box, and the sum of every pair of neighboring integers is a perfect square.

import graph;real r=10;size(r*cm);picture square1;draw(square1, (0,0)--(0,1)--(1,1)--(1,0)--cycle);add(scale(r/31*cm)*square1...

__Raspuns CP :

8--1--15--10--6--3--13--12--4--5--11--14--2--7--9--16_______________

Latex editor

<html>
<head>
<script type="text/javascript" src="http://latex.codecogs.com/editor3.js"></script></head>
<body>
<p><a href="javascript:OpenLatexEditor('testbox','html','')">
Launch CodeCogs Equation Editor
</a></p>
<textarea id="testbox" rows="3" cols="40"></textarea>
</body>
</html>

Cateva definitii

O functie $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ se numeste convexa pe intervalul $I$ daca

$$f(\alpha x+\beta y)\leq \alpha f(x)+\beta f(y)$$

pentru orice $x,y \in I$ si $\alpha, \beta \in [0,1]$.

vineri, 10 august 2012

Problema #1

Figura Problema #1

Ca unghi exterior in ΔBCD avem m(<BDA)=m(<DBC)+m(<DCB) de unde deducem

(1) m(<ACB)=45º-x .

Construim cealalta semidreapta (AE asfel incat:

(2) m(<BAE)=x si

(3) E ε mediatoare [AC] .

Din (3) rezulta

(4) EA=EC

si m(<ADE)=90º . De aici, primo m(<BDE)=m(<ADE)-m(<ADB)=90º-45º=45º si secundo m(<AED)=90º-m(<DAE), deci

(5) m(<AED)=90º - 2x .

In ΔADE semidreptele (AB si (DB sunt doua bisectoare, deci (EB este a treia bisectoare; atunci m(<AEB)=m(<AED)/2 iar din (5) obtinem

(6) m(<AEB)= 45º-x .

Avem <BAC=<BAE -cf (2) si ipoteza- ,<ACB=AEB -cf (1) si (6)-, iar AB este latura comuna. Cu cazul de congruenta a triunghiurilor ULU obtinem ΔABC=ΔABE iar de aici

(7) AE=AC.

Din (4) si (7) concludem ca ΔACE este echilateral, deci m(<EAC)=60º . Asadar 2x=60º ,de unde x=30º.

QED

joi, 9 august 2012

Inegalitatea T POPOVICIU pentru Functii Convexe

miercuri, 7 martie 2012

Aplicatia 1.1.3 din [2] pag 9 are o rezolvare prin geometria elementatra (i.e. a Elementelor lui Euclid)
Enunt: In triunghiul ABC, <ABC=45°. Punctul D se afla pe latura BC astfel incat 2BD=CD si <DAB=15°. Aflati <ACB. (AMC12 2001)
N cp ° = alt +248

----- inserare figura-----
Solutie cp
Construim semidreapta [BE in int(<ABC) astfel incat

m(<ABE)=15°
Rezulta

duminică, 4 martie 2012

Bibliografie

1 http://gogeometry.com/

2 Andrei IVANOV, Marcel TELEUCA Probleme de geometrie competitiva Editura Gil, Zalau, 2009

3 GMB - Gazeta Matematica Seria B

4 Traian LALESCU, Geometria triunghiului Editura Apollo, Craiova, 1993

5 Titu ANDREESCU, Dorin ANDRICA, O introducere in studiul ecuatiilor diofantiene Editura Gil, Zalau, 2002