Problema #1

Figura Problema #1



Ca unghi exterior in ΔBCD avem m(<BDA)=m(<DBC)+m(<DCB) de unde deducem

(1)                    m(<ACB)=45º-x .

Construim cealalta semidreapta (AE asfel incat:

(2)                   m(<BAE)=x                 si

(3)                   E ε mediatoare [AC] .

Din (3) rezulta

(4)                      EA=EC

si m(<ADE)=90º .  De aici,   primo    m(<BDE)=m(<ADE)-m(<ADB)=90º-45º=45º si     secundo m(<AED)=90º-m(<DAE), deci

(5)                     m(<AED)=90º - 2x .

In ΔADE semidreptele (AB si (DB sunt doua bisectoare, deci (EB este a treia bisectoare; atunci m(<AEB)=m(<AED)/2 iar din (5) obtinem

(6)                     m(<AEB)= 45º-x .

Avem <BAC=<BAE  -cf (2) si ipoteza-  ,<ACB=AEB  -cf (1) si (6)-, iar AB este latura comuna. Cu cazul de congruenta a triunghiurilor ULU obtinem  ΔABC=ΔABE iar de aici

(7)                      AE=AC.

Din (4) si (7) concludem ca ΔACE este echilateral, deci m(<EAC)=60º . Asadar 2x=60º ,de unde  x=30º.

QED