O INEGALITATE PUȚIN.....CIUDATĂ

          La clasa a WIII-a, în cadrul etapei locale a Olimpiadei de matematică

Enunț
          Demonstrați că $a^{2}+b^{2}\geqslant 2\sqrt{2}(a-b)\sqrt{ab}$, pentru orice numere reale $a,b$ de acelasi semn.
                                                                                                (Autor Lucian LUCA)


Soluție(conform baremului)
          $a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab\geqslant 2\sqrt{2ab(a-b)^{2}}=2\sqrt{2ab}\left |a-b\right| \geqslant 2\sqrt{2ab}(a-b)$.

$\blacksquare$

 N.CP ?? Nimic? despre cazul de "egalitate" ??

Soluție CP

Răspuns CP

                 Egalitate d.d $a=(2+\sqrt{3})b$.

Rezolvare CP

       
             Avem inegalitatea EVIDENTĂ $(a-b-\sqrt{2ab})^{2}\geqslant 0$;
egalitatea are loc atunci când $a-b=\sqrt{2ab}$ adică dacă $a \geqslant b$ si $a^{2}-2ab+b^{2}=2ab$ iar cum ecuația $t^{2}-4t+1=0$ are soluțiile $t_{1,2}=2 \pm \sqrt{3}$ rezultă răspunsul.
            Dezvoltat, inegalitatea de la care pornim se scrie

$a^{2}+b^{2}+2ab-2ab-2a\sqrt{2ab}+2b\sqrt{2ab}\geqslant 0$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2} \geqslant 2\sqrt{2ab}(a-b)$.

$\blacksquare$