O Problema de la Olimpiada de Matematica, etapa Judeteana, 16.03.2019, pentru clasa a WIII-a

Enunturi

Barem de corectare

Participant:    DRĂGHICI Alexandru Florin ; câștigat=experiență


                                            Rezolvare CP Problema 1

Raspuns CP     $(0,0)$ , $(0,\frac{14}{5})$ , $(1,2)$ , $(1,-\frac{1}{5})$ , $(-1,3)$, $(-1,\frac{4}{5})$

Solutie CP
        Înmulțind ambii membri ai egalității cu $\frac{4}{5}$ obținem egalitatea echivalentă

$4x^{2}+4xy+4y^{2}=\frac{28}{5}(x+2y)$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $3x^{2}+(x+2y)^{2}=\frac{28}{5}(x+2y)$,

sau, notând $z=x+2y$

(1)                       $\Leftrightarrow $ $3x^{2}+z^{2}=\frac{28}{5}z$.

         Dar diferența dintre membrul stâng si cel drept din (1) este

$3x^{2}+z^{2}-\frac{28}{5}z=3x^{2}+(z-\frac{14}{5})^{2}-\frac{196}{25}$.

Pentru $x\geqslant 2$ avem $3x^{2}-\frac{196}{25} \geqslant 12-\frac{196}{25}=\frac{104}{25}>0$, deci în acest caz nu există soluții. Rămân de analizat cazurile $x\in \{0, \pm1\}$; pentru $x=0$ egalitatea devine $5y^{2}=14y$, cu soluțiile $y_{1}=0$ si $y_{2}=\frac{14}{5}$; pentru $x=1$ obținem ecuația $5y^{2}-9y-2=0$ cu soluțiile $y_{3}=2$ si $y_{4}=-\frac{1}{5}$; pentru $x=-1$ obținem ecuația $5y^{2}-19y+12=0$ cu soluțiile $y_{5}=3$ si $y_{6}=\frac{4}{5}$.

$\blacksquare$