Problema E:15416, GMB 9/2018 - Suma unghiurilor unui triunghi; triunghi isoscel; bisectoare unghi; mediatoare segment

Enunț, pag 436

 REZOLVARE CP

       
                   Fie $x^{\circ}=\measuredangle B=\measuredangle C$. Avem

(1)                                          $m(\angle A'CD)=180^{\circ}-x^{\circ}$.

          În triunghiul isoscel $ABD$ de vârf $B$ (cf. $BD=AB$), cu $m(\angle B)=x^{\circ}$, avem $m(\angle DAB)=m(\angle ADB)=\frac{180^{\circ}-x^{\circ}}{2}=90^{\circ}-\frac{x^{\circ}}{2}$
iar conform opuselor la vârf $\angle CDE \equiv \angle ADB$ rezultă
(2)                                       $m(\angle CDE)=90^{\circ}-\frac{x^{\circ}}{2}$.
          Fie $EE'$ mediatoarea segmentului $[CD]$; avem $[EC] \equiv [ED]$ deci $\Delta CDE$ este isoscel și atunci $\angle ECD \equiv \angle EDC$  iar cu relația (2) rezultă
(3)                                       $m(\angle ECD)=90^{\circ}-\frac{x^{\circ}}{2}$.
            Din relațiile (1) și (3) vedem că

$m(\angle ECD)=\frac{m(\angle A'CD)}{2}$

adică semidreapta $[CE$ este bisectoarea unghiului exterior $\Delta ABC$ cu vârful în $C$.

QED $\blacksquare$