G M B #5 - 1967 (contine articolul ARIA TRIUNGHIULUI IN FUNCTIE DE MEDIANE - pag. 205-206)

Vezi in DRIVE

Vezi ERATA (necorectat inca)

          Articolul de la pp. 205-206 l-am prezentat in anul 1976 la Cercul de Matematica  al scolii (Lic Energetic  Timisoara), sub conducerea prof. Vasile BIVOLARU....

       Am "generalizat"  Aplicatia prezentata la sfarsit, aratand ca:

          Daca medianele unui triunghi verifica relatia $m_a^2 + m_b^2 =m_c^2$ atunci aria triunghiului este egala cu

$A_{\Delta ABC}=\frac{2}{3}\cdot m_a \cdot m_b$.

     Nu mai stiu cum am demonstrat; ar merge cam asa:

     Avem formula generala

$$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{2 \cdot \sum m_a^2 \cdot m_b^2 - \sum m_a^4}.$$

Calculam expresia de sub radical, inlocuind $m_c^2$ cu $m_a^2+m_b^2$ si obtinem

$2 \cdot (m_a^2 \cdot m_b^2+(m_a^2+m_b^2) \cdot m_c^2))-m_a^4-m_b^4-(m_a^2+m_b^2)^2=$

$=2(m_a^2 m_b^2 +(m_a^2 +m_b^2)^2)-m_a^4-m_b^4-(m_a^2+m_b^2)^2=2m_a^2 m_b^2+(m_a^2+m_b^2)^2-m_a^4-m_b^4=4m_a^2 m_b^2$

Deci $A_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{4m_a^2m_b^2}=\frac{2}{3}m_a m_b$.

$\blacksquare$