Poate așa s-au frământat oamenii și la apariția Curentului Electric în locuințe. Cum e mai bine : Dragoste la lumânare sau la bec ? Orice iubire trebuie să înceapă pe lumină. Când fierbințeala trupurilor ajuge la extaz, cu un suflu puteai stinge lumânarea, sau o puteai lăsa să vă vegheze. Pentru bec trebuie să te dezlipești de ființa iubită și să mergi la întrerupător.
<
Perhaps people wrestled with the same question when electricity first arrived in homes: which is better—making love by candlelight or by the light of a bulb? Any romance should begin in the light. When the heat of your bodies reaches a state of ecstasy, you can simply blow out the candle—or let it keep watch over you. With a light bulb, however, you have to pull yourself away from your beloved to go and flip the switch.
>
La timpul ei nu am reușit să rezolv problema. Eram în perioada premergătoare începerii anului 1 de facultate. Am revăzut-o azi și n-am avut nici acum inspirația necesară. Noroc că m-au ajutat Inteligențele artificiale, cum au făcut o aici și aici, și aici, asta doar în ultimele câteva zile. În curând ne vor lua locul... De fapt am pățit să fie nevoie de Dragoste amestecată cu Tehnologia Avansată...
<
Back then, I couldn't manage to solve the problem. It was just before I started my first year of university. I revisited it today, but I still lacked the necessary insight. Luckily, Artificial Intelligence came to my aid—just as it did here, and here, all within the last few days alone. Before long, it will take our place... As it happens, what was needed here was a blend of Love and Advanced Technology...
>
On page 5 of the magazine mentioned in the title, we find the problem :
"C : 5. Let $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}^*}$ be a sequence $x_{n+1}=x_n-nx_n^2$ , for
$n\in\mathbb{N}^* \;,\;x_1\in (0,1)$. Show that the series
$$\sum_{n=1}^\infty x_n$$
is convergent.
{ Author: } L. Panaitopol"
SOLUTION CiP adapted from AI
From inequality
$z(1-z)\leqslant \frac{1}{4} \tag{1}$
($\Leftrightarrow (1-2z)^2\geqslant 0$) and the condition $0<x_1<1$ it follow that $0<x_1(1-x_1)=x_1-x_1^2=x_2\leqslant \frac{1}{4}$ —or, in a weaker sense, $0<x_2<\frac{1}{2}$—holds.
By mathematical induction, it then follows that
$0<x_n<\frac{1}{n} \tag{2}$
( (2) is true for $n=1\;and\;n=2$. Now, assuming that (2) holds for an arbitrary $n$ , we have $x_{n+1}=x_n(1-nx_n)$ so from $x_n>0\;and\;1-nx_n>0$ first it follow $x_{n+1}>0$ and seconly $x_{n+1}=\frac{1}{n}[(nx_n)(1-nx_n)]\leqslant \frac{1}{4n}<\frac{1}{n+1}$. Hence (2) is true for $n+1$.)
Let $y_n=\frac{1}{x_n}.$ The recurrence relation for $\{x_n\}$ can be written—by changing the index to $k$—as follows:
$\frac{1}{y_{k+1}}=\frac{1}{y_n}\left (1-\frac{k}{y_k} \right )\;\Leftrightarrow\;y_{k+1}=\frac{y_k^2}{y_k-k}$ hence
$y_{k+1}-y_k=\frac{y_k^2}{y_k-k}-y_k=\frac{ky_k}{y_k-k}$
However, we have the inequality $\frac{ky_k}{y_k-k}>k$ (immediately equivalent to $k^2> 0$), so
$y_{k+1}-y_k\geqslant k \;\;,\;k=1,\;2,\;3 \dots\tag{3}$
Summing in (3) , we obtain
$$\sum_{k=1}^{n-1} [y_{k+1}-y_k]\geqslant \sum_{k=1}^{n-1}k\;\;\Leftrightarrow y_n-y_1\geqslant \frac{n(n-1)}{2}$$
so we have it even more
$y_n\geqslant \frac{n(n-1)}{2}\;\;\Leftrightarrow\;\;x_n\leqslant \frac{2}{n(n-1}$
Therefore, the series with positive terms $x_n$ has a general term that satisfies the condition
$x_n\leqslant \frac{2}{n(n-1)}<\frac{3}{n^2}\;\;n\geqslant 3$ ;
since the series $\sum \frac{1}{n^2}$ is convergent, it follows from the
Direct Comparison Test that the series $\sum x_n$ is convergent.
$\blacksquare$
REMARK CiP Here is the help provided by the AI :
Răspunsul a fost generat cu ajutorul AI. Acesta se bazează pe informații de pe web și din Knowledge Graph de la Google, o colecție de informații despre persoane, locații și lucruri. AI-ul generativ este în continuă dezvoltare și calitatea informațiilor poate varia. Pentru ajutor la evaluarea conținutului, accesează linkurile oferite. Află mai multe despre cum funcționează Modul AI...
Being cheeky, I asked him to also provide a generalization by formulating the problem :
Under the same assumptions, determine the nature of the series :
$$\sum_{n=1}^\infty (x_n)^\alpha\;\;\; \alpha \in\mathbb{R}$$
\begin{cases} \alpha \geqslant \frac{1}{2} \;\; the\;series\; is\; convergent\\ \alpha \leqslant 0\;or\;\alpha >\frac{1}{2}\;\;the\; series \;is \;divergent \end{cases}
<end REM>
