PROBLEMA 27 193, GMB 2/2016, pag 97, autor Marcel CHIRIȚĂ, București

La rubrica :

                            PROBLEME PROPUSE/

                             PROBLEME PREGĂTITOARE PENTRU CONCURSURI ȘI OLIMPIADE/

                                            PROBL EME PENTRU LICEU/

                                                    Clasa a XII-a

Enunț:

27193. Fie $n\geqslant 2$ un număr întreg. Să se determine un polinom $P$ cu coeficienți

 întregi astfel încât $P(\sqrt[n]{2})=\frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2}+1}$ .

Marcel Chiriță, București

Soluție CIP

Răspuns CIP:

   $P(X)=\frac{1}{2-(-1)^{n}}\left [ -2X^{n-1} +2X^{n-2}-2X^{n-3}+...+2(-1)^{n}X+(2+(-1)^{n})\right ]$

Rezolvare CIP: Folosind formula

 $X^{n}-a^{n}=(X-a)(X^{n-1}+aX^{n-2}+a^{2}X^{n-3}+...+a^{n-3}X^{2}+a^{n-2}X+a^{n-1})$

deducem identitatea

$\frac{X^{n}-(-1)^{n}}{X+1}=X^{n-1}-X^{n-2}+X^{n-3}+...-(-1)^{n}X^{2}+(-1)^{n}X-(-1)^{n}$.

Calculăm acum     $\frac{X-1}{X+1}=\frac{(X-1)[X^{n-1}-X^{n-2}+X^{n-3}+...-(-1)^{n}X^{2}+(-1)^{n}X-(-1)^{n}]}{X^{n}-(-1)^{n}}$. Produsul de la numărător are termenii

$X^{n}-X^{n-1}+X^{n-2}-...-(-1)^{n}X^{3}+(-1)^{n}X^{2}-(-1)^{n}X-$

.                    $-X^{n-1}+X^{n-2}-...............+(-1)^{n}X^{2}-(-1)^{n}X+(-1)^{n}$,

al căror rezultat este: $X^{n}-2X^{n-1}+2X^{n-2}-...+2(-1)^{n}X^{2}-2(-1)^{n}X+(-1)^{n}$.

Rezultatul calculului îl scriem, trecând termenul $X^{n}$ la sfârșit:

 $\frac{X-1}{X+1}=\frac{1}{X^{n}-(-1)^{n}}$$\left [ -2X^{n-1} +2X^{n-2}-2X^{n-3}+...+2(-1)^{n}X+(X^{n}+(-1)^{n})\right ]$.

Punând mai sus $\sqrt[n]{2}$ în loc de $X$ obținem: $\frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2}+1}=$
$=\frac{1}{2^{n}-(-1)^{n}}$$[-2(\sqrt[n]{2})^{n-1}+2(\sqrt[n]{2})^{n-2}-2(\sqrt[n]{2})^{n-3}+...+2(-1)^{n}\sqrt[n]{2}+(2+(-1)^{n}))]$,
și obținem răspunsul.
         Observăm că numai pentru $n$ număr par polinomul $P$ are coeficienții întregi. Dacă impunem numai cerința $P\in \mathbb{Q}[X]$ atunci răspunsul este valabil pentru orice $n$.

$\blacksquare$

Rezolvarea în GMB 6-7-8/2016, pag 364-365

Enunțul apare cu completarea "Fie $n\geqslant 2$ un număr par...", deși nicio Erată din numerele ulterioare apariției problemei nu îl corectează. Se scrie apoi identitatea

$\frac{X^{2m}-1}{X+1}=X^{2m-1}-X^{2m-2}+...-1=X^{n-1}-X^{n-2}+...-1$

și se observă că se poate alege $P(X)=(X-1)(X^{n-1}-X^{n-2}+...-1)$, pentru care avem 

$P(\sqrt[n]{2})=(\sqrt[n]{2}-1)\frac{2-1}{\sqrt[n]{2}+1}=\frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2}+1}$

$\blacksquare$

N CP
În fapt polinomul lor este $X^{n}-2X^{n-1}+2X^{n-2}-...+2X^{2}-2X+1$, calculat și de noi. El are gradul $n$, dar există și unul de grad $n-1$ dacă am observa că pentru $\sqrt[n]{2}$, termenul $X^{n}$ este egal cu 2. 
 Poate că M. Chiriță nu-și mai amintește, dar prietenul său M. Țena sigur știe că $\mathbb{Q}(\sqrt[n]{2})$=  $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ este un corp, extindere finită simplă a corpului $\mathbb{Q}$, etc.

QED