PROBLEMA 27463, GMB 12/2017, pag. 605, autori L. DRAGOMIR, Oțelu-Roșu și N. STĂNILOIU, Bocșa

La rubrica :

                            PROBLEME/

                             PROBLEME PREGĂTITOARE PENTRU CONCURSURI ȘI OLIMPIADE/

                                            PROBL EME PENTRU LICEU/

                                                    Clasa a IX-a

Enunț:

             27463. Determinați funcțiile strict cresctoare $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$, cu proprietatea că $\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x+y)}$ este un număr natural nenul, pentru orice $x,y\in \mathbb{N}$.

 Lucian Dragomir, Oțelu-Roșu și Nicolae Stăniloiu, Bocșa

Soluție CIP

Răspuns CIP:

$f(x)=ax+1, a\in \mathbb{N}, a\geqslant 1 $

Rezolvare CIP: Pentru $x=y=0$, din condiția $\frac{2f(0)}{1+f(0)}\in \mathbb{N}^{\bigstar}$  $\Leftrightarrow$ $2-\frac{2}{1+f(0)}$ $\in \mathbb{N}^{\bigstar}\Rightarrow f(0)=1$. 
Din monotonie rezultă $f(x+y)>f(x), f(y)$, pentru $x,y\geqslant 1$, deci $2f(x+y)>f(x)+f(y)$ și atunci $0<\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x+y)}$<$ $$\frac{2f(x+y)}{1+f(x+y)}=2-\frac{2}{1+f(x+y)}<2$. De aici rezultă că $\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x+y)}=1$, adică

$f(x)+f(y)=1+f(x+y)$, pentru $x,y\geqslant 1$.

În particular avem $f(x+1)=f(x)+f(1)-1$ și notând $a=f(1)-1$ care este, în virtutea strictei monotonii $a>f(0)-1=0$, obținem, prin inducție completă, formula din răspuns. Apoi se verifică imediat că toate funcțiile de forma găsită satisfac cerințelor enunțului.

■

See also artofproblemsolving.com
or https://artofproblemsolving.com/community/c573365h1570740_problem_27463_gmb_122017_p_605 (aici lipsesc niste diacritice)