PROBLEME/
PROBLEME PREGĂTITOARE PENTRU CONCURSURI ȘI OLIMPIADE/
PROBL EME PENTRU LICEU/
Clasa a IX-a
Enunț:
27463. Determinați funcțiile strict cresctoare f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}, cu proprietatea că \frac{f(x)+f(y)}{1+f(x+y)} este un număr natural nenul, pentru orice x,y\in \mathbb{N}.
Lucian Dragomir, Oțelu-Roșu și Nicolae Stăniloiu, Bocșa
Soluție CIP
Răspuns CIP:
f(x)=ax+1, a\in \mathbb{N}, a\geqslant 1
Rezolvare CIP: Pentru x=y=0, din condiția \frac{2f(0)}{1+f(0)}\in \mathbb{N}^{\bigstar} \Leftrightarrow 2-\frac{2}{1+f(0)} \in \mathbb{N}^{\bigstar}\Rightarrow f(0)=1.
Din monotonie rezultă f(x+y)>f(x), f(y), pentru x,y\geqslant 1, deci 2f(x+y)>f(x)+f(y) și atunci 0<\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x+y)}< \frac{2f(x+y)}{1+f(x+y)}=2-\frac{2}{1+f(x+y)}<2. De aici rezultă că \frac{f(x)+f(y)}{1+f(x+y)}=1, adică
or https://artofproblemsolving.com/community/c573365h1570740_problem_27463_gmb_122017_p_605 (aici lipsesc niste diacritice)
Din monotonie rezultă f(x+y)>f(x), f(y), pentru x,y\geqslant 1, deci 2f(x+y)>f(x)+f(y) și atunci 0<\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x+y)}< \frac{2f(x+y)}{1+f(x+y)}=2-\frac{2}{1+f(x+y)}<2. De aici rezultă că \frac{f(x)+f(y)}{1+f(x+y)}=1, adică
f(x)+f(y)=1+f(x+y), pentru x,y\geqslant 1.
See also artofproblemsolving.com
În particular avem f(x+1)=f(x)+f(1)-1 și notând a=f(1)-1 care este, în virtutea strictei monotonii a>f(0)-1=0, obținem, prin inducție completă, formula din răspuns. Apoi se verifică imediat că toate funcțiile de forma găsită satisfac cerințelor enunțului.
■
or https://artofproblemsolving.com/community/c573365h1570740_problem_27463_gmb_122017_p_605 (aici lipsesc niste diacritice)
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu