PROBLEMA E:15290, GMB 12/2017, pag. 604, autor Otilia Sorana BEJAN, Reșița

La rubrica :

                            PROBLEME/

                             PROBLEME PREGĂTITOARE PENTRU CONCURSURI ȘI OLIMPIADE/

                                            PROBL EME PENTRU GIMNAZIU/

                                                    Clasa a VIII-a

Enunț:

             E:15290. Fie numerele reale $x,y,z \geq 1$ astfel încât $x+y+z=6$. Arătați că $\frac{x^{2}+3}{3x^{2}+1}+\frac{y^{2}+3}{3y^{2}+1}+\frac{z^{2}+3}{3z^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$.

 Otilia Sorana Bejan, Reșița

Soluție CIP

Din inegalitatea, evidentă pentru $x \geq 1$, $(x-1)^{3} \geq 0$, obținem echivalent : $x^{3}+3x\geqslant 3x^{2}+1\Leftrightarrow$ $\frac{x^{2}+3}{3x^{2}+1}$$\geqslant \frac{1}{x}$ și analoagele pentru y și z. Adunându-le obținem:

$\frac{x^{2}+3}{3x^{2}+1}+\frac{y^{2}+3}{3y^{2}+1}+\frac{z^{2}+3}{3z^{2}+1}\geq$ $\frac{1}{x}+$$\frac{1}{y}+$$\frac{1}{z}$.

Din inegalitatea (relativ) cunoscută $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geqslant 9$, și ținând seama de ipoteza $x+y+z=6$, rezultă $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{9}{6}$. Atunci rezultă de mai sus, prin tranzitivitate, tocmai inegalitatea de demonstrat.

$\blacksquare$