O figura posibila (intentionat ales un triunghi ABC obtuzunghic)
Fie MM'\perp BC si NN' \perp BC segmentele care masoara distantele respectiv d(M,BC) si d(N,BC).
Avem urmatoarea
LEMĂ AM' este bisectoarea unghiului \angle HAB iar AN' este bisectoarea
unghiului \angle HAC.
Într-adevar, in trapezul dreptunghic AHM'M (vezi fig de mai jos), din MA=MM' rezulta \angle MM'A=\angle MAM',
dar \angle MM'A=\angle M'AH ca alterne interne pentru MM' \parallel AH si secanta AM', de unde obtinem concluzia. \blacksquare (LEMA)
Aplicam teorema bisectoarei in triunghiurile \Delta AHB si \Delta AHC, obtinand respectiv
LEMĂ AM' este bisectoarea unghiului \angle HAB iar AN' este bisectoarea
unghiului \angle HAC.
Într-adevar, in trapezul dreptunghic AHM'M (vezi fig de mai jos), din MA=MM' rezulta \angle MM'A=\angle MAM',
dar \angle MM'A=\angle M'AH ca alterne interne pentru MM' \parallel AH si secanta AM', de unde obtinem concluzia. \blacksquare (LEMA)
Aplicam teorema bisectoarei in triunghiurile \Delta AHB si \Delta AHC, obtinand respectiv
(1) \frac{M'H}{M'B}=-\frac{AH}{AB} ,
(2) \frac{N'H}{N'C}=-\frac{AH}{AC} .
Notam mai departe cu D piciorul bisectoarei unghiului \angle BAC; avem tot cu teorema bisectoarei
Mai departe, teorema lui Thales aplicata pentru MM' \parallel AH in triunghiul \Delta BAH si NN' \parallel AH in triunghiul \Delta CAH, conduc respectiv la
(3) \frac{DB}{DC}=-\frac{AB}{AC}.
Mai departe, teorema lui Thales aplicata pentru MM' \parallel AH in triunghiul \Delta BAH si NN' \parallel AH in triunghiul \Delta CAH, conduc respectiv la
(4) \frac{M'H}{M'B}=\frac{MA}{MB} ,
(5) \frac{N'H}{N'C}=\frac{NA}{NC} .
Sa calculam acum
\frac{MA}{MB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot\frac{NC}{NA}=(4)\wedge(3)\wedge(5-inv.)=\frac{M'H}{M'B}\cdot (- \frac{AB}{AC})\cdot \frac{N'C}{N'H}=
=(1)\wedge(2-inv.)=-\frac{AH}{AB}\cdot(- \frac{AB}{AC})\cdot (-\frac{AC}{AH})=-1
deci cu reciproca teoremei Ceva deducem ca dreptele BN,CM,AD sunt concurente.
\blacksquare
Remarcă CP În realitate punctele M si N sunt intersectiile segmentelor [AB] si [AC] cu parabola de focar punctul A si directoare dreapta BC.
