Processing math: 100%

marți, 31 martie 2020

TESTE pentru EVALUAREA NATIONALA 2020


Ministerul Educației și Cercetării a publicat un prim set de resurse de antrenament pentru elevii care vor susține examenele naționale [1]


Data publicării: 
Luni, 30 Martie, 2020
În contextul suspendării cursurilor, pentru pregătirea elevilor în vederea susținerii examenelor naționale, Ministerul Educației și Cercetării a publicat un prim set de resurse de antrenament pentru elevii care vor susține examenele naționale [2].
Resursele de antrenament tip test, realizate împreună cu Centrul Național de Evaluare și Examinare, respectă modelul subiectului de examen. Obiectivul acestora este acela de a exersa în această săptămână și de a continua efortul în vederea obținerii unor rezultate bune la viitoarele examene.
Baremele de evaluare și de notare vor fi publicate pe același site, vineri, 3 aprilie 2020. Rolul acestora este de autoevaluare și calibrare a modului în care au fost redactate răspunsurile.
Totodată, în cadrul emisiunilor Teleșcoala [3] vor fi prezentate unele soluții ale acestor teste de antrenament, cu explicațiile necesare pentru a înțelege cât mai bine răspunsurile din baremele de evaluare și de notare.

vineri, 27 martie 2020

An Inequality in a Book - Sự bất bình đẳng trong một cuốn sách

You can read the book here

You can download it directly from here.
                                 
             Usually the first problem in a book is easier. Look at it







An algebraic solution I did not find despite the obvious geometric meaning.
Here is the picture with the solution in the book.



True, she is beautiful............

          
            We present below the geometrical meaning of the problem. 
    
           The equation 

(1)                                        9x^{2}+8xy+7y^{2}=6

 represent an ellipse; thanks to GEOGEBRA she looks like this
You can see in the image above the point A(\frac{1}{2};\frac{1}{2}) that belongs to the ellipse (drawn a little clumsy). The center of this ellipse still remain origin O(0;0) but the axes are the lines y=\frac{\sqrt{17}-1}{4}x , y=-\frac{\sqrt{17}+1}{4}x as will be seen in a later image.
         
         The inequality given in the statement 9a^{2}+8ab+7b^{2} \leqslant 6 says about the point M(a:b) it is inside the ellipse (1).

          The equation

(2)                                             7x+5y+12xy=9

reprezent a hyperbola with asymptotes y=-\frac{7}{12} and x=-\frac{5}{12}, as shown below and point A(\frac{1}{2};\frac{1}{2}) also belongs to her.
           It is important that the point A(\frac{1}{2};\frac{1}{2}) belongs to both conics but crucial is that these conics are tangent at A  (and both at line 13x+11y=12); see the image below
         Now, inequality 7a+5b+12ab \leqslant 9 says that point M(a;b) is outer the branches of hyperbola which is (geometrically) obvious.
\blacksquare

         I hope that through these we have dismantled the mechanism that made this kind of problems to appear.
                                                      GOOD  LOCK !

vineri, 20 martie 2020

TELEȘC8ALĂ PROBLEMA 2 (Temă) - pentru clasa a VIII-a




Lecția 5 PIRAMIDA PATRULATERĂ REGULATĂ

Vezi lecția aici.






     Enunțul  Problemei 2     Piramida patrulateră regulată VABCD cu latura bazei 
                                        egală cu 18\;cm și { {\it \it A_{l}}}=540\;cm^{2}. Determinați:
                                     a) volumul piramidei;
                                     b) tangenta unghiului format de o muchie laterală cu planul
                                          bazei;
                                     c) distanța de la centul bazei la o muchie laterală.


Răspuns CP : a) 1296\;cm^{3} ; b) \frac{2\sqrt{2}}{3} ; c) \frac{18\sqrt{34}}{17}\;cm.


 Rezolvare CP

     a) Cu formula A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2} și datele problemei obținem, înlocuind valorile date:
540=\frac{4 \cdot 18 \cdot a_{p}}{2}
sau 38 \cdot a{p}=540 și rezultă a_{p}=540:36=15, deci

VM=a_{p}=15 \;cm.

În cazul pătratului ABCD avem OM=a_{b}=\frac{l_{4}}{2}=18:2, deci

OM=a_{b}=9\;cm.

Din formula h^{2}+a_{b}^{2}=a_{p}^{2} deducem h^{2}=a_{p}^{2}-a_{b}^{2}=15^{2}-9^{2}=225-81=144; atunci h=\sqrt{144}, adică
 
VO=h=12\; cm.

Calculăm {V}=\frac{{A}_{b} \cdot h}{3}=\frac{l^{2} \cdot h}{3}=\frac{18^2 \cdot 12}{3}=1296 \;cm^{3}.



       b) Din proj_{ABC}\;V\;=O și proj_{ABC}\;A=A rezultă că proiecția  segmentului [VA] pe planul (ABC) este proj_{ABC}[VA]=OA.
 Atunci unghiul format de muchia VA cu planul bazei (ABC) este \angle VAO.
Dar, în pătratul ABCD avem AO=R=R_{4}=\frac{l_{4}\sqrt{2}}{2}=\frac{18\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}
Rezultă tg\widehat{ABC}=\frac{c_{o}}{c_{a}}=\frac {VO}{AO}=\frac{12}{9\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

   c) 
     Construim în triunghiul dreptunghicVAO, cu unghiul drept în vârful O
OE\; \perp\;VA   \Rightarrow   OE=d(O;VA)=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ip}    ca înalțime pe ipotenuză
deci calculând întâi
 VA=\sqrt{VO^{2}+OA^{2}}=\sqrt{12^{2}+(9\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{144+81\cdot 2}=\sqrt{306}=3\sqrt{34}, obținem
d(O;VA)=\frac{VO\cdot OA}{VA}=\frac{12\cdot 9\sqrt{2}}{\sqrt{306}}=\frac{18\sqrt{34}}{17}.
\blacksquare










Ă Â Î Ș Ț  ă â î ș ț

miercuri, 18 martie 2020

TELEȘCOALĂ PROBLEMA 4 (Temă) - pentru clasa a VIII-a

Lecția 3  Probleme rezolvate algebric cu ajutorul sistemelor de ecuații

Vezi lecția aici.

Enunțul problemei 4          Raportul a două numere naturale este \frac{2}{3} iar suma dintre 
dublul numărului mai mic și numărul mai mare este 140.
                                               Aflați cele două numere.


Răspuns CP :  Numerele sunt 40 și 60.


 Rezolvare CP

     Notăm cu n și N cele două numere căutate, notație făcută asfel încât n <N.
Afirmația " raportul a două numere naturale" se poate exprima prin
 \frac{n}{N}  sau  \frac{N}{n}.
 Dar știind că acest raport " este \frac{2}{3} " deci <1 alegem prima dintre exprimări, deoarece n<N. Așadar prima condiție care se obține din enunț este
 (1)                             \frac{n}{N}=\frac{2}{3}.
Mărimea "dublul numărului mai mic" reprezintă 2n
deci "suma dintre dublul numărului mai mic și numărul mai mare este 140"
se exprimă prin condiția
  (2)                                2n+N=140.
     Cu relațiile (1) si (2) formăm sistemul
(3)     \begin{cases} & \frac{n}{N}=\frac{2}{3}\\ & 2n+N=140 \end{cases}
 a cărui rezolvare conduce la găsirea răspunsului la problemă.
      Avem (rezolvăm cu metoda substituției)
(3) \Leftrightarrow   \begin{cases}                                                      & n=\frac{2N}{3}\\                                       & 2n+N=140                                     \end{cases}  \Leftrightarrow
 \;\;\;\;\;\Leftrightarrow   \begin{cases}                                                      & n=\frac{2N}{3}\\                                       & \frac{4N}{3}+N=140 \; \;\;\;\;   \ |\ast3 (pentru\; eliminarea\; numitorului)                                     \end{cases}  \Leftrightarrow
\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow \begin{cases}                                                      & n=\frac{2N}{3}\\                                       & 4N+3N=420                                     \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases}                                                      & n=\frac{2N}{3}\\                                       & 7N=420 \;\;\;\; \mid \;\;\div\;\;7                                     \end{cases}  \Leftrightarrow
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow \begin{cases}                                                      &N=60\\                                      & n=\frac{2N}{3}\\                                                                         \end{cases}  \Leftrightarrow\begin{cases}                                                      &N=60\\                                      & n=\frac{120}{3}\\                                                                         \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}                                                      &n=40\\                                      & N=60\\                                                                         \end{cases}.
     Am obținut răspunsul.
     Verificarea soluției găsite este imediată:
\frac{40}{60}=\frac{2}{3}- prin simplificarea cu 20,   iar    2 \cdot 40+60=80+60=140.
\blacksquare