Processing math: 100%

sâmbătă, 29 decembrie 2018

Problema E:15465 GMB 12/2018

In GMB 12/2018, pag 607, pentru Clasa 7


Rezolvare CP

O figura posibila (intentionat ales un triunghi ABC obtuzunghic)


Fie MM'\perp BC si NN' \perp BC segmentele care masoara distantele respectiv d(M,BC) si d(N,BC).
Avem urmatoarea

        LEMĂ AM' este bisectoarea unghiului \angle HAB iar AN' este bisectoarea
                    unghiului \angle HAC.

          Într-adevar, in trapezul dreptunghic AHM'M (vezi fig de mai jos), din MA=MM' rezulta \angle MM'A=\angle MAM',

dar \angle MM'A=\angle M'AH ca alterne interne pentru MM' \parallel AH si secanta AM', de unde obtinem concluzia.                                                                                  \blacksquare (LEMA)          

Aplicam teorema bisectoarei in triunghiurile \Delta AHB si \Delta AHC, obtinand respectiv

(1)                     \frac{M'H}{M'B}=-\frac{AH}{AB} ,

(2)                     \frac{N'H}{N'C}=-\frac{AH}{AC} .

Notam mai departe cu D piciorul bisectoarei unghiului \angle BAC; avem tot cu teorema bisectoarei

(3)                        \frac{DB}{DC}=-\frac{AB}{AC}.

Mai departe, teorema lui Thales aplicata pentru MM' \parallel AH in triunghiul \Delta BAH si NN' \parallel AH in triunghiul \Delta CAH, conduc respectiv la

(4)                 \frac{M'H}{M'B}=\frac{MA}{MB} ,

(5)                 \frac{N'H}{N'C}=\frac{NA}{NC} .


       Sa calculam acum
\frac{MA}{MB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot\frac{NC}{NA}=(4)\wedge(3)\wedge(5-inv.)=\frac{M'H}{M'B}\cdot (- \frac{AB}{AC})\cdot \frac{N'C}{N'H}=

=(1)\wedge(2-inv.)=-\frac{AH}{AB}\cdot(- \frac{AB}{AC})\cdot (-\frac{AC}{AH})=-1

deci cu reciproca teoremei Ceva deducem ca dreptele BN,CM,AD sunt concurente.
\blacksquare


Remarcă CP În realitate punctele M si N sunt intersectiile segmentelor [AB] si [AC] cu parabola de focar punctul A si directoare dreapta BC.

marți, 25 decembrie 2018

Problema E:15455 GMB 12/2018

In GMB 12/2018, pag 606, pentru Clasa 5

Rezolvare CP

Numărul 2016 este multiplu de 6 deci 2016=3 \cdot 672 =2 \cdot 1008. Prin urmare
 28^{2016}=(28^{672})^{3}=(28^{1008})^{2}.
Mai departe avem 28=8+16=2^{3}+4^{2}, adică o scriere de forma x^{3}+y^{2} și atunci obținem 
 28^{2017}=28 \cdot 28^{2016}=(2^{3}+4^{2}) \cdot 28^{2016}=2^{3} \cdot 28^{2016}+4^{2} \cdot 28^{2016}=
=2^{3} \cdot (28^{672})^{3}+4^{2} \cdot (28^{1008})^{2}=(2 \cdot 28^{672})^{3}+(4 \cdot 28^{1008})^{2},
adică tocmai o scriere de forma căutată.
\blacksquare

GAZETA MATEMATICA Seria B N0 12/2018



Vezi DRIVE sau issuu.com sau scribd.com

Vezi ERATA



SUPLIMENTUL cu EXERCITII al GMB N0 12/2018




Vezi DRIVE sau issuu.com sau scribd.com

duminică, 23 decembrie 2018

O Problema de Divizibilitate



In GMB 11/2018, pag. 527.
Problema propusa la Un concurs Judetean... pentru clasa 6 (??)...Sursa este o problema din Gazeta, pe care nu am identificat-o inca.

Hai sa o rezolvam in LATEX

Raspuns CP :  11

Rezolvare CP

Avem, pentru anumiti a si b egalitatile
(1)                                                                                    n=44a+7;
(2)                                                                                   n=42b+5;
Sa calculam n+37. Cu (1) avem n+37=44a+44=44(a+1) iar cu (2) avem n+37=42b+42=42(b+1).
Avem deci divizibilitatile 44 \mid n+37 si 42 \mid n+37;
 ca urmare CMmMC[44;42] \mid n+37, adica
 924 \mid n+37.
Asadar avem, pentru un anumit c,
(3)                                                                                  n=924c-37.
Din (3), scrisa sub forma 
n=924(c-1)+887=924(c-1)+876+11=12[77(c-1)+73]+11=12d+11
obtinem imediat raspunsul.
\blacksquare



Comentariu pentru.....comentatori (!)

#1 ? Cum sa gasesti acest numar "miraculos" 37, pe care daca-l aduni la n se rezolva problema ??



GAZETA MATEMATICA Seria B N0 11/2018




Vezi in DRIVE sau pe issuu.com ori scribd.com

duminică, 18 noiembrie 2018

Inca o Proprietate a Misteriosului Triunghi Egiptean 3--4--5

Aflati unghiul x

S-a dat la o olimpiada in Brazilia. (de aflat detalii !!)

Raspuns: x=45^{\circ}

Rezolvare









Folosim notatiile din figura; m(\measuredangle C)=\alpha.
Evident triunghiul este dreptunghic in A, iar \alpha \approx37^{\circ}; in plus
 m(\measuredangle B)=90^{\circ}-\alpha.
Avem triunghiurile isoscele ACD - cu AC=CD=4, respectiv ABE - cu AB=BE=3 .
Din primul deducem m(\measuredangle ADE)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}, iar acest unghi fiind unghi exterior in \DeltaABD urmeaza ca m(\measuredangle BAD=(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})-(90^{\circ}-{\alpha})=\frac{\alpha}{2}.
Al doilea triunghi isoscel pomenit mai sus are unghiul de la varf m(\measuredangle B)=90^{\circ}-{\alpha} deci m(\measuredangle AED)=\frac{180^{\circ}-(90^{\circ}-{\alpha})}{2}=45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}. Acest din urma unghi este unghi exterior in \DeltaAEC deci gasim m(\measuredangle CAE)=(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})-{\alpha}=45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
In fine x este egal cu m(\measuredangle BAC)-m(\measuredangle BAD)-m(\measuredangle CAE)==90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=45^{\circ}.

duminică, 11 noiembrie 2018

PROIECT Cls V, Școala Gimnazială SADU -- Asteroizi si Meteoriti

Autoare: BUNEA Larisa-Maria





O problema de la PERU GEOMETRICO


PERÚ GEOMÉTRICO se complace en presentar este interesante problema ,espero sea de su agrado y manden sus resoluciones.




Seamana cu relatia lui Casey pentru patrulatere inscriptibile.....
O posibila solutie, pe masa din ....bucatarie   

PROIECT Cls V, Școala Gimnazială SADU -- NUMERELE PRIME

Autori: ROMAN Mario-Constantin + ROMAN Ioana-Alexia + BARB Andreea Maria

 

Fara teorie......NU se poate:





















Asa arata la inceput:



Si asa la sfarsit




Poate de aceea ne-am mirat.......!

sâmbătă, 10 noiembrie 2018

PROIECT Cls V, Școala Gimnazială SADU - Sistemul Solar


Autori: Băncioiu Paul-Constantin + Ștefănuță  Ilie-Andrei + Șandru Dumitru-Lucian (de la St --> Dr)

Foarte bine realizat!



Excelent documentat !

SOARELE













































































































































































...............................................................