Loading web-font TeX/Math/Italic

joi, 11 iulie 2019

Problema E:15416, GMB 9/2018 - Suma unghiurilor unui triunghi; triunghi isoscel; bisectoare unghi; mediatoare segment

Enunț, pag 436
 REZOLVARE CP


       
                   Fie x^{\circ}=\measuredangle B=\measuredangle C. Avem
(1)                                          m(\angle A'CD)=180^{\circ}-x^{\circ}.
          În triunghiul isoscel ABD de vârf B (cf. BD=AB), cu m(\angle B)=x^{\circ}, avem m(\angle DAB)=m(\angle ADB)=\frac{180^{\circ}-x^{\circ}}{2}=90^{\circ}-\frac{x^{\circ}}{2}
iar conform opuselor la vârf \angle CDE \equiv \angle ADB rezultă
(2)                                       m(\angle CDE)=90^{\circ}-\frac{x^{\circ}}{2}.
          Fie EE' mediatoarea segmentului [CD]; avem [EC] \equiv [ED] deci \Delta CDE este isoscel și atunci \angle ECD \equiv \angle EDC  iar cu relația (2) rezultă
(3)                                       m(\angle ECD)=90^{\circ}-\frac{x^{\circ}}{2}.
            Din relațiile (1) și (3) vedem că
m(\angle ECD)=\frac{m(\angle A'CD)}{2}
adică semidreapta [CE este bisectoarea unghiului exterior \Delta ABC cu vârful în C.
QED \blacksquare
 

luni, 20 mai 2019

TEZA la MATEMATICA Clasa 8 - semestrul 2

Enunțuri

Varianta 1

Varianta 2


 Tezele scanate se gasesc aici

Barem de Corectare




 Absolvenți

Lista absolventi



sâmbătă, 11 mai 2019

TEZA la MATEMATICA Clasa 6 - semestrul 2

Data : 10 mai 2019
 Enunturi

Varianta 1

Varianta 2
Varianta CES
Errata: La Problema III.2, Varianta CES, in loc de "cea mai apropiata latura a patratului mic..." trebuie scris "cea mai apropiata latura a patratului mare..."


Barem de corectare si notare
-modul de gandire este scris cu verde

Variantele V1||V2

Varianta CES



Tezele sunt scanate aici


miercuri, 8 mai 2019

Problema S:L19.42 SGM 2/2019

Enunț pag. 10:


RĂSPUNS CP:      Avem simultan
m(\angle BDA)=2m(\angle BCA) și m(\angle DBA)=2m(\angle DCA)

REZOLVARE CP

          La un unghi \angle A de 60^{\circ} fixăm un punct C pe bisectoarea lui; notăm AC=m.
Un unghi variabil, tot de 60^{\circ} intersectează laturile unghiului dat, formând patrulaterul convex de care vorbește problema.

Elementele care determină complet figura sunt lungimea m și unghiul u^{\circ} pe care semidreapa (CA îl face cu una din laturile celui de-al doilea unghi.



Ă Â Î Ș Ț ă â î ș ț

miercuri, 10 aprilie 2019

Problema E:15502, GMB 3/2019, pag 153


Problemă propusă pentru clasa a V-a







Răspuns           a) 63
                             b) a=5, b=2

Rezolvare
                        a)  Notăm    S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}. Calculăm 1+S și obținem
1+S=(1+1)+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=
=(2+2)+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=
 =(4+4)+2^{3}+2^{4}+2^{5}=
=(8+8)+2^{4}+2^{5}=
 =(16+16)+2^{5}=32+32=64 \Rightarrow S=64-1=63.

Remarcă  Avem, în general, formula
1+2+2^{2}+\cdot \cdot \cdot +2^{n}=2^{n+1}-1,   n \in \mathbb{N};
demonstratia decurge similar, calculând 1+S, S fiind suma dată, și observând că, la fiecare pas k obținem 2^{k}+2^{k}=2^{k+1}, k \in \mathbb{N}, rezultatul final fiind 2^{n+1}.

                 b)  Avem, conform împărțirii de mai jos
urmatoarea scriere în baza 2:

2020=11111100100_{2}
sau, ca sumă de puteri ale lui 2:

(\ast)                    2020=2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{2}

          Egalitatea cerută se scrie:
2^{a} \cdot (2^{6}-1)+2^{b}=2020
sau, ținând cont de rezultatul de la punctul a)
2^{a}\cdot (1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})+2^{b}=2020,
sau
2^{a}\cdot 1+2^{a}\cdot 2+2^{a}\cdot 2^{2}+2^{a}\cdot 2^{3}+2^{a}\cdot 2^{4}+2^{a}\cdot 2^{5}=2020,
sau încă
2^{a}+2^{a+1}+2^{a+2}+2^{a+3}+2^{a+4}+2^{a+5}+2^{b}=2020.
Din unicitatea scrierii în baza 2 (Euler, ??) a numărului 2020, și comparând cu relatia (\ast), rezultă a=5 si b=2.
\blacksquare


GAZETA MATEMATICA Seria B N0 5/1987


Vezi in DRIVE sau scribd.com sau issuu.com

joi, 21 martie 2019

O Problema de la Olimpiada de Matematica, etapa Judeteana, 16.03.2019, pentru clasa a WIII-a

Enunturi



Barem de corectare


Participant:    DRĂGHICI Alexandru Florin ; câștigat=experiență


                                            Rezolvare CP Problema 1

Raspuns CP     (0,0) , (0,\frac{14}{5}) , (1,2) , (1,-\frac{1}{5}) , (-1,3), (-1,\frac{4}{5})

Solutie CP
        Înmulțind ambii membri ai egalității cu \frac{4}{5} obținem egalitatea echivalentă
4x^{2}+4xy+4y^{2}=\frac{28}{5}(x+2y) \Leftrightarrow
\Leftrightarrow 3x^{2}+(x+2y)^{2}=\frac{28}{5}(x+2y),
sau, notând z=x+2y
(1)                       \Leftrightarrow 3x^{2}+z^{2}=\frac{28}{5}z.
         Dar diferența dintre membrul stâng si cel drept din (1) este
3x^{2}+z^{2}-\frac{28}{5}z=3x^{2}+(z-\frac{14}{5})^{2}-\frac{196}{25}.
Pentru x\geqslant 2 avem 3x^{2}-\frac{196}{25} \geqslant 12-\frac{196}{25}=\frac{104}{25}>0, deci în acest caz nu există soluții. Rămân de analizat cazurile x\in \{0, \pm1\}; pentru x=0 egalitatea devine 5y^{2}=14y, cu soluțiile y_{1}=0 si y_{2}=\frac{14}{5}; pentru x=1 obținem ecuația 5y^{2}-9y-2=0 cu soluțiile y_{3}=2 si y_{4}=-\frac{1}{5}; pentru x=-1 obținem ecuația 5y^{2}-19y+12=0 cu soluțiile y_{5}=3 si y_{6}=\frac{4}{5}.
\blacksquare