Problema E:15416, GMB 9/2018 - Suma unghiurilor unui triunghi; triunghi isoscel; bisectoare unghi; mediatoare segment

Enunț, pag 436

 REZOLVARE CP

       
                   Fie $x^{\circ}=\measuredangle B=\measuredangle C$. Avem

(1)                                          $m(\angle A'CD)=180^{\circ}-x^{\circ}$.

          În triunghiul isoscel $ABD$ de vârf $B$ (cf. $BD=AB$), cu $m(\angle B)=x^{\circ}$, avem $m(\angle DAB)=m(\angle ADB)=\frac{180^{\circ}-x^{\circ}}{2}=90^{\circ}-\frac{x^{\circ}}{2}$
iar conform opuselor la vârf $\angle CDE \equiv \angle ADB $ rezultă
(2)                                       $m(\angle CDE)=90^{\circ}-\frac{x^{\circ}}{2}$.
          Fie $EE'$ mediatoarea segmentului $[CD]$; avem $[EC] \equiv [ED]$ deci $\Delta CDE$ este isoscel și atunci $\angle ECD \equiv \angle EDC$  iar cu relația (2) rezultă
(3)                                       $m(\angle ECD)=90^{\circ}-\frac{x^{\circ}}{2}$.
            Din relațiile (1) și (3) vedem că

$m(\angle ECD)=\frac{m(\angle A'CD)}{2}$

adică semidreapta $[CE$ este bisectoarea unghiului exterior $\Delta ABC$ cu vârful în $C$.

QED $\blacksquare$

 

GAZETA MATEMATICA Seria B N0 4/2019

Vezi in DRIVE , sau issuu.com sau scribd.com

 

Vezi daca vrei si E R A T A 

 

TEZA la MATEMATICA Clasa 7 - semestrul 2

Enunturi

Varianta 1

Varianta 2

 Tezele scanate se afla aici

Baremul de corectare

SUPLIMENTUL cu EXERCITII al GMB N0 4/2019

Vezi in DRIVE, pe issuu.com sau scribd.com

TEZA la MATEMATICA Clasa 5 - semestrul 2

Enunturi

Varianta 1

Varianta 2

 Copii ale Tezelor se gasesc aici

Baremul

TEZA la MATEMATICA Clasa 8 - semestrul 2

Enunțuri

Varianta 1

Varianta 2

 Tezele scanate se gasesc aici

Barem de Corectare

 Absolvenți

Lista absolventi

TEZA la MATEMATICA Clasa 6 - semestrul 2

Data : 10 mai 2019

 Enunturi

Varianta 1

Varianta 2

Varianta CES

Errata: La Problema III.2, Varianta CES, in loc de "cea mai apropiata latura a patratului mic..." trebuie scris "cea mai apropiata latura a patratului mare..."

Barem de corectare si notare

-modul de gandire este scris cu verde

Variantele V1||V2

Varianta CES

Tezele sunt scanate aici

Problema S:L19.42 SGM 2/2019

Enunț pag. 10:

RĂSPUNS CP:      Avem simultan

$m(\angle BDA)=2m(\angle BCA)$ și $m(\angle DBA)=2m(\angle DCA)$

REZOLVARE CP

          La un unghi $\angle A$ de $60^{\circ}$ fixăm un punct $C$ pe bisectoarea lui; notăm $AC=m$.
Un unghi variabil, tot de $60^{\circ}$ intersectează laturile unghiului dat, formând patrulaterul convex de care vorbește problema.

Elementele care determină complet figura sunt lungimea $m$ și unghiul $u^{\circ}$ pe care semidreapa $(CA$ îl face cu una din laturile celui de-al doilea unghi.

Ă Â Î Ș Ț ă â î ș ț

Problema E:15502, GMB 3/2019, pag 153

Problemă propusă pentru clasa a V-a

Răspuns           a) $63$
                             b) $a=5$, $b=2$

Rezolvare
                        a)  Notăm    $S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}$. Calculăm $1+S$ și obținem

$ 1+S=(1+1)+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=$

$=(2+2)+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=$

 $=(4+4)+2^{3}+2^{4}+2^{5}=$

$=(8+8)+2^{4}+2^{5}=$

 $=(16+16)+2^{5}=32+32=64$ $\Rightarrow$ $S=64-1=63$.

Remarcă  Avem, în general, formula

$1+2+2^{2}+\cdot \cdot \cdot +2^{n}=2^{n+1}-1$,   $n \in \mathbb{N}$;

demonstratia decurge similar, calculând $1+S$, $S$ fiind suma dată, și observând că, la fiecare pas $k$ obținem $2^{k}+2^{k}=2^{k+1}$, $k \in \mathbb{N}$, rezultatul final fiind $2^{n+1}$.

                 b)  Avem, conform împărțirii de mai jos

urmatoarea scriere în baza $2$:

$2020=11111100100_{2}$

sau, ca sumă de puteri ale lui $2$:

$(\ast)$                    $2020=2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{2}$

          Egalitatea cerută se scrie:

$2^{a} \cdot (2^{6}-1)+2^{b}=2020$

sau, ținând cont de rezultatul de la punctul a)

$2^{a}\cdot (1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})+2^{b}=2020$,

sau

$ 2^{a}\cdot 1+2^{a}\cdot 2+2^{a}\cdot 2^{2}+2^{a}\cdot 2^{3}+2^{a}\cdot 2^{4}+2^{a}\cdot 2^{5}=2020$,

sau încă

$2^{a}+2^{a+1}+2^{a+2}+2^{a+3}+2^{a+4}+2^{a+5}+2^{b}=2020$.

Din unicitatea scrierii în baza 2 (Euler, ??) a numărului 2020, și comparând cu relatia ($\ast$), rezultă $a=5$ si $b=2$.

$\blacksquare$

GAZETA MATEMATICA Seria B N0 5/1987

Vezi in DRIVE sau scribd.com sau issuu.com

GAZETA MATEMATICA Seria B N0 3/2019

Vezi in DRIVE , sau issuu.com sau scribd.com

SUPLIMENTUL cu EXERCITII al GMB N0 3/2019

Vezi in DRIVE , pe issuu.com sau scribd.com

GAZETA MATEMATICA Seria B N0 2/2019

Vezi in DRIVE
sau issuu.com sau scribd.com

SUPLIMENTUL cu EXERCITII al GMB N0 2/2019

Vezi in DRIVE 
sau issuu.com
sau scribd.com

O Problema de la Olimpiada de Matematica, etapa Judeteana, 16.03.2019, pentru clasa a WIII-a

Enunturi

Barem de corectare

Participant:    DRĂGHICI Alexandru Florin ; câștigat=experiență


                                            Rezolvare CP Problema 1

Raspuns CP     $(0,0)$ , $(0,\frac{14}{5})$ , $(1,2)$ , $(1,-\frac{1}{5})$ , $(-1,3)$, $(-1,\frac{4}{5})$

Solutie CP
        Înmulțind ambii membri ai egalității cu $\frac{4}{5}$ obținem egalitatea echivalentă

$4x^{2}+4xy+4y^{2}=\frac{28}{5}(x+2y)$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $3x^{2}+(x+2y)^{2}=\frac{28}{5}(x+2y)$,

sau, notând $z=x+2y$

(1)                       $\Leftrightarrow $ $3x^{2}+z^{2}=\frac{28}{5}z$.

         Dar diferența dintre membrul stâng si cel drept din (1) este

$3x^{2}+z^{2}-\frac{28}{5}z=3x^{2}+(z-\frac{14}{5})^{2}-\frac{196}{25}$.

Pentru $x\geqslant 2$ avem $3x^{2}-\frac{196}{25} \geqslant 12-\frac{196}{25}=\frac{104}{25}>0$, deci în acest caz nu există soluții. Rămân de analizat cazurile $x\in \{0, \pm1\}$; pentru $x=0$ egalitatea devine $5y^{2}=14y$, cu soluțiile $y_{1}=0$ si $y_{2}=\frac{14}{5}$; pentru $x=1$ obținem ecuația $5y^{2}-9y-2=0$ cu soluțiile $y_{3}=2$ si $y_{4}=-\frac{1}{5}$; pentru $x=-1$ obținem ecuația $5y^{2}-19y+12=0$ cu soluțiile $y_{5}=3$ si $y_{6}=\frac{4}{5}$.

$\blacksquare$

OLIMPIADA de MATEMATICA a SATELOR din ROMANIA -Etapa Judeteana- TALMACIU- 09.03.2019

CLASA a IV-a

CLASA a V-a

CLASA a VI-a

CLASA a VII-a

CLASA a VIII-a