D A N S A este o anagramă a lui S A N D A : de ce ești dată peste cap ?? // Vector proof of the Steiner relation // Vektorbeweis der Steiner-Relation

 Întâi am crezut că a pus alt nick ieri la ora [17:17] ca să nu o vadă nimeni din cei vechi. Acum mi-am dat seama că era doar un joc, anagramându-și vechiul nick... Dacă nu vedeam schimbarea, n-aș fi ghicit...

Și, încet, se încheie o lună AUGUST chinuitoare pe parcurs, dar cu un final fericit... Te IUBESC ALINA...

(Und langsam neigt sich ein quälender August dem Ende zu, aber mit einem Happy End... Ich liebe dich, ALINA...)

We give a demonstration using vector calculus. It is necessary, due to the presence of angles, to work in a Euclidean space, with a scalar product  $<.,.>$. The affine structure alone is not sufficient.

In the figure below, we consider the vectors :

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\;,\;\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$

If  $\frac{BM}{MC}=\alpha\;\;,\;\;\frac{BN}{NC}=\beta$  then, as oriented segments we have :

$\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\alpha \cdot \overrightarrow{AC}}{1+\alpha}\;\;,\;\;\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\beta\cdot \overrightarrow{AC}}{1+\beta} \tag{1}$

We now use the angle equalities :

$\angle {BAM}=\angle {CAN}=x\;\;\;,\;\;\;\angle {BAM}=\angle {CAM}=x+\angle{MAN}:=x+\mu \tag{2}$

We now express some scalar products, thus :

$<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}>=AB\cdot AM\cdot \cos x\;\;,\;\;<\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AN}>=AC\cdot AM\cdot \cos x \tag{3}$

$<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN}>=AB\cdot AN\cdot \cos(x+\mu)\;\;,\;\;<\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AM}>=AC\cdot AM\cdot \cos(x+\mu) \tag{4}$