GMB 8 / 2005

 

pages 378 (romanian version) and 380 (english version)

               "C : 2909.  For any positive integer  $n$  let  

$S_n=1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+\dots +n(n+1)(n+2).$  Prove that :

a)  $\sqrt{S_n}\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ , for all  $n\in \mathbb{N^*}$  ;  b)  $\sqrt{\frac{1}{4}+S_n}\in\mathbb{Q}$ , for all  $n\in\mathbb{N^*}.$

{author :} Petre SIMION, Bucharest"

(in construction)

cf COPILOT 

Suma

[ S = 1\cdot 2\cdot 3 ;+; 2\cdot 3\cdot 4 ;+; \dots ;+; n(n+1)(n+2) ]

are o expresie închisă foarte elegantă:

[ \boxed{S = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}} ]

---

De ce funcționează formula

Termenul general este:

[ k(k+1)(k+2) = k^3 + 3k^2 + 2k ]

Suma devine:

[ S = \sum_{k=1}^n (k^3 + 3k^2 + 2k) ]

Folosind formulele standard pentru
(suma;cuburilor),
(suma;pătratelor),
(suma;primelor;n;numere),

și simplificând, totul se reduce exact la:

[ S = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} ]

---

Verificare rapidă pentru n = 1, 2, 3

• n = 1:
  Stânga: (1\cdot 2\cdot 3 = 6)
  Dreapta: (\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{4} = 6)

• n = 2:
  Stânga: (6 + 24 = 30)
  Dreapta: (\frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{4} = 30)

• n = 3:
  Stânga: (6 + 24 + 60 = 90)
  Dreapta: (\frac{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{4} = 90)

Totul se potrivește perfect.

---

Dacă vrei, pot și demonstra formula prin:

• inducție
• metoda diferențelor finite
• identități telescopice

Vrei o demonstrație completă printr-una dintre aceste metode?

Telescopica

Hai să o facem telescopic, „curat”, cu combinații.

---

1. Scriem termenul general în formă combinatorică

Observăm că

[ k(k+1)(k+2) = 6 \cdot \binom{k+2}{3} ]

pentru că

[ \binom{k+2}{3} = \frac{(k+2)(k+1)k}{6}. ]

Deci suma devine

[ S = \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = 6 \sum_{k=1}^n \binom{k+2}{3}. ]

---

2. Transformăm suma într-o sumă telescopică

Folosim identitatea clasică:

[ \binom{m}{r} = \binom{m+1}{r} - \binom{m+1}{r-1}. ]

Aplicată pentru (r = 3), obținem:

[ \binom{k+2}{3} = \binom{k+3}{4} - \binom{k+2}{4}. ]

Deci

[ \sum_{k=1}^n \binom{k+2}{3} = \sum_{k=1}^n \left[\binom{k+3}{4} - \binom{k+2}{4}\right]. ]

Aceasta este o sumă telescopică: termenii se anulează în lanț.

Scriem câțiva termeni:

[ \begin{aligned} &\left[\binom{4}{4} - \binom{3}{4}\right] + \left[\binom{5}{4} - \binom{4}{4}\right] + \left[\binom{6}{4} - \binom{5}{4}\right] + \dots + \left[\binom{n+3}{4} - \binom{n+2}{4}\right]. \end{aligned} ]

Tot ce e „intermediar” se taie, rămâne doar:

[ \sum_{k=1}^n \binom{k+2}{3} = \binom{n+3}{4} - \binom{3}{4}. ]

Dar (\binom{3}{4} = 0), deci

[ \sum_{k=1}^n \binom{k+2}{3} = \binom{n+3}{4}. ]

---

3. Punem totul la un loc

Revenim la suma inițială:

[ S = 6 \sum_{k=1}^n \binom{k+2}{3} = 6 \binom{n+3}{4}. ]

Acum calculăm:

[ 6 \binom{n+3}{4} = 6 \cdot \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!} = 6 \cdot \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{24} = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}. ]

---

Concluzie

[ \boxed{ \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} } ]

Dacă vrei, putem face și o versiune pur algebrică de telescopare, găsind direct un polinom (F(k)) cu (F(k+1)-F(k)=k(k+1)(k+2)).