Some TRIGONOMETRIC IDENTITIES : Trigonometric sums in arithmetic progression // Тригонометрические суммы в арифметической прогрессии

 I am in possession of a copy in Romanian of the famous book

I. S. Gradshteyn & I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products

A Russian version of the 4th edition (1963) exists in PDF or DjVu format.

          I was helped by Microsoft Copilot AI in organizing the material. 

1. Sum of sines in arithmetic progression

$$\sum_{k=0}^{n-1}\sin (x+k\cdot y)=\sin \left (x+\frac{n-1}{2}\cdot y \right )\cdot \frac{\sin (ny/2)}{\sin (y/2)} \tag{1}$$

2. Sum of cosines in arithmetic progression

$$\sum_{k=0}^{n-1}\cos (x+k\cdot y)=\cos \left (x+\frac{n-1}{2}\cdot y\right )\cdot \frac{\sin (ny/2)}{\sin (y/2)} \tag{2}$$

  3.  Particular Cases

$$\sum_{k=0}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n}=\cot \frac{\pi}{2n} \tag{3}$$

$$\sum_{k=0}^{n-1}\cos \frac{k\pi}{n}= 1\tag{4}$$

4. Generalized sum ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{mk\pi }{n}}$

                         For  $m\in\mathbb{Z}\;:$

$$\sum_{k=0}^{n-1}\sin \frac {mk\pi}{n}=\begin{cases}\sin \left ( \frac{(n-1)m\pi}{2n}\right )\cdot \frac{\sin (m\pi/2)}{\sin (m\pi/2n)}\;\;if\;m-odd\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;if\;m-even \end{cases} \tag{5}$$

$$\underset{}{\overset{}{}}$$

                                                 5. Generalized sum ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\cos \frac{mk\pi }{n}}$

$$\sum_{k=0}^{n-1}\cos \frac{mk\pi}{n}=\begin{cases}\cos \left (\frac{(n-1)m\pi}{2n} \right )\cdot \frac{\sin (m\pi/2)}{\sin (m\pi/2n)}\;\;if\;m-odd \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;if\;m-even \end{cases} \tag{6}$$

$\blacksquare\;\;\blacksquare\;\;\blacksquare$

                  REMARK  CiP   Formula  (4)  is totally uninteresting. 

$\cos 0+\color{Red}{\cos \frac{\pi}{n}}+\color{Magenta}{\cos \frac{2\pi}{n}}+\dots+\color{Magenta}{\cos \frac{(n-2)\pi}{n}}+\color{Red}{\cos \frac{(n-1)\pi}{n}}$

The sum has the first term equal to 1, and the remaining terms are reduced two by two (we have highlighted the opposite terms in color), based on the  equality

$\cos\frac{(n-k)\pi}{n}=\cos \left (\pi-\frac{k\pi}{n} \right )=-\cos \frac{k\pi}{n}.$

More interesting would be a "half-way" formula of the form :

$\cos \frac{\pi}{n}+\cos \frac{2\pi}{n}+\dots +\cos \frac{[n/2]\pi}{n}$

< end REM>

I'm also including a copy of my discussion with Artificial Intelligence here.

/me : Am urmatooarele formule, le scriu fara latex :

1. sinx+sin(x+y)+sin(x+2y)+...+sin(x+(n-1)y)=sin(x+(n-1)y/2) sin(ny/2)cosec(y/2);

/AI :  Formula ta este corectă, doar că trebuie scrisă cu parantezele bine puse. Identitatea standard este:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\sin (x+ky)=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(x+\frac{(n-1)y}{2})\frac{\sin (ny\mathrm{/}2)}{\sin (y\mathrm{/}2)}\mathrm{.}$$

Concizia ei este exact ce ai scris:

$$\sin (x+(n-1)y\mathrm{/}2)\sin (ny\mathrm{/}2)\mathrm{cosec}(y\mathrm{/}2)\mathrm{.}$$

🔍 De unde vine formula (pe scurt, fără complicații)

Folosești suma a două sinusuri:

$$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\mathrm{.}$$

Aplici această identitate repetat asupra șirului:

$$\sin (x),\sin (x+y),\sin (x+2y),\dots ,\sin (x+(n-1)y)\mathrm{.}$$

Structura este o progresie aritmetică în argument, deci suma se reduce la:

• un sinus cu argumentul centrului progresiei

$$x+\frac{(n-1)y}{2},$$

• înmulțit cu un factor care depinde doar de pasul progresiei $y$ și de numărul de termeni $n$:

$$\frac{\sin (ny\mathrm{/}2)}{\sin (y\mathrm{/}2)}\mathrm{.}$$

🧩 Formula completă

$$\boxed{{\displaystyle \sin x+\sin (x+y)+\cdots +\sin (x+(n-1)y)=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(x+\frac{(n-1)y}{2})\frac{\sin (ny\mathrm{/}2)}{\sin (y\mathrm{/}2)}}}$$

Dacă vrei, pot să-ți dau și demonstrația completă cu metoda numerelor complexe sau cu metoda telescopării trigonometrice — alegi tu: metoda complexă sau metoda telescopării.

/me : 2)cosx+cos(x+y)+...+cos(x+(n-1)y)=cos(x+(n-1)y/2)sin(ny/2)cosec(y/2)

3. sum_{k=0}^{n-1}sinm(k\pi)/n=ctg(\pi)/2n. Este 3) un caz particular al lui 1) ?? Care este o formula analoaga pentru 3) dar scrisa pentru cos(k\pi/n) ? Cum as putea cita aceste formule intr-o lucrare fara mari pretentii academice, dar corecta dpdv moral ?

/AI  :Răspund pe rând, clar și compact, dar cu toată structura necesară.

1️⃣ Formula pentru cos

Formula analogă cu suma de sinusuri este:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\cos (x+ky)=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(x+\frac{(n-1)y}{2})\frac{\sin (ny\mathrm{/}2)}{\sin (y\mathrm{/}2)}\mathrm{.}$$

Exact ce ai scris:

$$\cos (x+(n-1)y\mathrm{/}2)\sin (ny\mathrm{/}2)\mathrm{cosec}(y\mathrm{/}2)\mathrm{.}$$

2️⃣ Formula ta 3):

$$\sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{mk\pi }{n}=\cot \frac{\pi }{2n}\mathrm{.}$$

Este aceasta un caz particular al formulei 1)?

Da, dar numai în anumite condiții.

Dacă pui în formula 1):

• $x=0$

• $y=\frac{m\pi }{n}$

obții:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{mk\pi }{n}=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{(n-1)m\pi }{2n}\right)\frac{\sin (m\pi \mathrm{/}2)}{\sin (m\pi \mathrm{/}2n)}\mathrm{.}$$

Aceasta nu se reduce la $\cot (\pi \mathrm{/}2n)$ decât în cazurile în care:

• $m$ este impar,

• și folosești periodicitatea și simetriile sinusului.

Pentru $m=1$ obții exact formula ta:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}=\cot \frac{\pi }{2n}\mathrm{.}$$

Deci 3) este un caz particular al 1) doar pentru $m=1$ (sau echivalent mod 2).

3️⃣ Formula analogă pentru cos(kπ/n)

Ai nevoie de:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\cos \frac{mk\pi }{n}\mathrm{.}$$

Folosind formula 2) cu $x=0$, $y=\frac{m\pi }{n}$:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\cos \frac{mk\pi }{n}=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{(n-1)m\pi }{2n}\right)\frac{\sin (m\pi \mathrm{/}2)}{\sin (m\pi \mathrm{/}2n)}\mathrm{.}$$

Cazuri particulare importante

• Dacă $m$ este par, atunci $\sin (m\pi \mathrm{/}2)=0$, deci suma este 0.

• Dacă $m$ este impar, atunci:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\cos \frac{mk\pi }{n}=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{(n-1)m\pi }{2n}\right)\csc \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{m\pi }{2n}\right)\mathrm{.}$$

4️⃣ Cum citezi aceste formule într-o lucrare?

Pentru o lucrare fără pretenții academice mari, dar corectă moral, ai trei variante:

✔ Varianta 1 — „Formule standard”

Scrii simplu:

Formula este una standard și se găsește în orice manual de trigonometrie sau tabel de identități trigonometrice.

✔ Varianta 2 — Citație generală

Aceste identități sunt binecunoscute și pot fi găsite, de exemplu, în: I. S. Gradshteyn & I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, secțiunea despre sume trigonometrice.

✔ Varianta 3 — Citație online

Identitățile pentru sume de sinusuri și cosinusuri în progresie aritmetică sunt prezentate, de exemplu, în articolul „Trigonometric identities” de pe Wikipedia.

Toate sunt moral corecte și suficiente pentru o lucrare neacademic‑riguroasă.

Dacă vrei, pot să-ți pun toate formulele într-o singură pagină coerentă, gata de pus în lucrare: pagina cu formule.

/me : Pune-mi te rog, si voi mentiona in lucrare ca m-ai ajutat.

/AI  :Mai jos ai pagina completă, coerentă, ordonată, exact cum ai putea să o incluzi într‑o lucrare. Nu conține nimic redundant, doar formulele esențiale și câteva observații utile.

Poți menționa liniștit că ai fost ajutat de Microsoft Copilot.

📘 Sume trigonometrice în progresie aritmetică

1. Suma sinusurilor în progresie aritmetică

Pentru orice numere reale $x$, $y$ și orice $n\in \mathbb{N}$:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\sin (x+ky)=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(x+\frac{(n-1)y}{2})\frac{\sin (ny\mathrm{/}2)}{\sin (y\mathrm{/}2)}\mathrm{.}$$

Această identitate este utilă atunci când argumentele sinusurilor formează o progresie aritmetică.

2. Suma cosinusurilor în progresie aritmetică

În mod analog:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\cos (x+ky)=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(x+\frac{(n-1)y}{2})\frac{\sin (ny\mathrm{/}2)}{\sin (y\mathrm{/}2)}\mathrm{.}$$

3. Caz particular: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}}$

Aplicând formula de la (1) cu $x=0$, $y=\frac{\pi }{n}$:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}=\cot \frac{\pi }{2n}\mathrm{.}$$

Aceasta este un caz particular al formulei generale (1), obținut pentru $m=1$ în expresia $\sin \frac{mk\pi }{n}$.

4. Suma generalizată ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{mk\pi }{n}}$

Pentru $m\in \mathbb{Z}$:

$$\sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{mk\pi }{n}=\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{(n-1)m\pi }{2n}\right)\frac{\sin (m\pi \mathrm{/}2)}{\sin (m\pi \mathrm{/}2n)}\mathrm{.}$$

Observații:

• Dacă $m$ este par, atunci $\sin (m\pi \mathrm{/}2)=0$, deci suma este 0.

• Dacă $m$ este impar, formula se reduce la o expresie ne-nulă.

5. Formula analogă pentru cosinus: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\cos \frac{mk\pi }{n}}$

$$\sum _{k=0}^{n-1}\cos \frac{mk\pi }{n}=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{(n-1)m\pi }{2n}\right)\frac{\sin (m\pi \mathrm{/}2)}{\sin (m\pi \mathrm{/}2n)}\mathrm{.}$$

Observații:

• Dacă $m$ este par, suma este 0.

• Dacă $m$ este impar, suma este o valoare nenulă dată de formula de mai sus.

6. Sugestie de citare moral‑corectă

Pentru o lucrare fără pretenții academice mari, dar corectă:

Formulele utilizate sunt identități trigonometrice standard pentru sume în progresie aritmetică. Ele pot fi găsite, de exemplu, în: I. S. Gradshteyn & I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, secțiunea dedicată sumelor trigonometrice. De asemenea, am beneficiat de sprijinul asistentului AI Microsoft Copilot pentru organizarea și prezentarea materialului.

Dacă vrei, pot să-ți pregătesc și o versiune în format mai compact, sau una stilizată exact ca pentru o lucrare matematică: versiune compactă sau versiune academică.

/me  :   I then lost the discussion, accidentally closing the COPILOT page.