Wake Me Up When September Ends // Pentru ALINA, cu dragoste

 Au trecut două zile de când nu a mai fost Alina pe chat... Îmi amintesc că odată, a intrat cu nickul "lookigforsummer"... Am vorbit cu EA ulterior si mi-a spus ca este titlul unei melodii, Looking For The Summer ... 

Am mai văzut din când în când un nick, care am crezut ca este al ei : "weakmeupwhenseptemberends"... Sigur i-ar fi placut... Dar nu, am vorbit cu respectivul... Este tot titlul unei melodii...

Today I scanned another magazine, from my increasingly incomplete collection... Older issues are here.

Let's enjoy the following Problem proposed for 8th grade, page 303 :

    "E:12378.  If  $a\in (0\;,\;8)$ , prove that

$\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{a}} \right )\cdot \left (1+\frac{1}{\sqrt{8-a}}\right )\geqslant \frac{9}{4}.$

 . {Author :} Gh ACHIM, Mizil, Prahova"

ANSWER CiP

"="  iff  a=4

Solution CiP

          We have the inequality :

$x+y\geq 2\sqrt{xy}\;\;,\;\;x,y\geqslant 0 \;\;,\;\;"="\Leftrightarrow x=y \tag{I}$

Indeed,  $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geqslant 0\;\;"=" \Leftrightarrow x=y$. So  $x+y-2\sqrt{xy}\geqslant 0$...etc

          Let  $b:=\sqrt{a}\;\;,\;\;c:=\sqrt{8-a}$ ; we have

$b^2+c^2=8 \tag{1}$

Writing  (I)  for  $x=b^2\;,\;y=c^2$  we ​​get  $b^2+c^2\geqslant 2bc\;\;\overset{(1)}{\Rightarrow} 8\geqslant 2bc$  so

$\frac{1}{bc}\geqslant \frac{1}{4} \tag{2}$

Writing  (I)  for  $x=\frac{1}{b}\;,\;y=\frac{1}{c}$  we get  $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{\sqrt{bc}}\underset{(2)}{\geqslant} \frac{2}{\sqrt{4}}$  so

$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant 1 \tag{3}$

          Then  $1+\left (\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )+\frac{1}{bc}\overset{(2)\;(3)}{\geqslant} 1+1+\frac{1}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left (1+\frac{1}{b}\right )\cdot \left (1+\frac{1}{c}\right )\geqslant \frac{9}{4}$

that is, the inequality to be proved. 

 $"="\Leftrightarrow b=c\;and\;\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\;\;\Leftrightarrow b=c=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}\underset{(1)}{=}2\;\Leftrightarrow a=4.$

$\blacksquare$