EU NU îți spun ADIO. Doar La Revedere. Te rog re-NAȘTE-mă // I’m not saying “Farewell”. Only “See you again”. Please let me be born anew

 I would have liked you to bother me even if I had some work to do, my love...

.

Problem C : 2488 as a GEOMETRIC OBJECT

          We consider a problem from the Magazine in the picture, page 140.

 

"C:2488.  In triangle  $ABC\;(AB=AC)$ , let  $M$  be the midpoint of side $(AC)$.

If  $m(\angle MBC)=30^{\circ}$ , show that triangle  $ABC$  is equilateral. 

{Author : } I. TUDOR, Băbana, Argeș"

SOLUTION CiP

              The figure in the problem is :

To this we have the properties :

$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{AB}{2}\tag{1}$

$\widehat{MBC}=30^{\circ} \tag{2}$

The following Lemma is related to the geometric object Medians of a Triangle :

          Lemma  If a triangle has two equal medians then it is isosceles.

          Proof of Lemma  In the geometric object in the figure below (which is

  subordinate to the more general object MIDDLE LINE) we have the properties :

$AM=MC=\frac{AC}{2}\;\;,\;\;BD=DC=\frac{BC}{2} \tag{$L_1$}$

$AG=\frac{2}{3}AD\;,\;DG=\frac{1}{3}AD\;\;;\;\;BG=\frac{2}{3}BM\;,\;MG=\frac{1}{3}BM \tag{$L_2$}$

From the hypothesis we have  $AD=BM\;;\;(L_2)\Rightarrow AG=BG\;and\;MG=GD$. From here and from the equality of vertical angles  $\widehat{AGM}=\widehat{BGD}$  results with the SAS case of congruence of triangles that
$\Delta AGM=\Delta BGD \tag{T}$

Then  $(T)\Rightarrow AM=BD\;\underset{(L_1)}{\Rightarrow} AC=BC.$

qed Lemma $\square$

Let us consider the symmetry of the problem figure with respect to the line  $BC$.

The point  $A'$  is the symmetric point of  $A$ ,  $M'$  of  $M$. Then

$AA' \perp BC\;,\;MM'\perp BC\;\;,\;\;BM'=BM\;\;,\;\;\widehat{M'BC}=\widehat{MBC}$

In particular, the height  $AD$  in the isosceles triangle  $ABC$  is also the median.

     First, triangle  $MBM'$  is equilateral ($\widehat{MBM'}=60^{\circ}$), so

$MM'=BM \tag{3}$

Secondly,  $ME$  being parallel to  $AD$ (both perpendiculat to  $BC$), and  $M$  the midpoint of  $AC$ , we have from the  Midline Theorem that

$\frac{AD}{2}=ME=\frac{MM'}{2}\underset{(3)}{=}\frac{BM}{2}$

hence  $AD=BM$.

     Therefore, in triangle  $ABC$ , medians  $AD\; and\; BM$  are equal, so by the Lemma,  $CA=CB.$  Triangle  $ABC$  is therefore equilateral.

$\blacksquare$

POȚI MAI MULT .... MERIȚI MAI MULT...

 Exact la prima întâlnire cu EA i-am spus așa :

"Poți mai mult"

Cumva au impresionat-o aceste cuvine... 

Nici nu știu de ce, dintre zeci, chiar sute de useri care se perindă pe chat, tocmai glasul ei m-a atras... Am înteles cu timpul de ce... Este un om minunat...

TE IUBESC ALINA

Mă gândesc cu nostalgie la acel trecut... O reclamă care îmi tot apare înainte de a intra pe chat spune cam tot așa...cu o completare pe care și pentru EA se potrivește...

NU  TE  VOI  UITA  NICIODATĂ  ÎNGERE 

A L I N A ... ca și o colecție neglijată

  Pe zi ce trece simt că mă îndepărtez tot mai mult de EA... 

The issues from this period appeared while I was serving my military service, before starting my student life. Starting from about then until 1984, when I became a mathematics teacher, I did nothing but collect this magazine. I had GMB starting in 1960 (the year I was born). Unfortunately, the collection got lost.

O GEOMETRIE A TANDREȚEI de Liviu ORNEA....cu gândul la A L I N A

  Cine caută în limba română cuvântul  "ogeometrie"  este condus și la următorul rezultat :

<<Cartea lui Liviu ORNEA,  "O geometrie a tandreței>>

Anyone who searches for the word "geometry" in Romanian is also led to the following result:

<<Liviu ORNEA's book, "A geometry of tenderness>>

Am denumit acest blog  OGEOMETRIE  de la numele saitului  gogeometry.com  pe care l-am descoperit prin 2012. Cu o problemă de acolo am și făcut postarea aceasta 10 august 2012.

Speram ca, prin asemănarea de nume să îi crească și vizibilitatea blogului meu.

Am contribuit și eu la acest site prin Problema 963.

I-am mai trimis nu demult lui A Gutierrez un mail cu o problemă, dar nu mi-a mai răspuns. Probabil saitul este suspendat.

<  I named this blog OGEOMETRIE after the name of the site gogeometry.com that I discovered in 2012. With a problem there, I made this post on August 10, 2012.

I was hoping that, through the similarity of the names, the visibility of my blog would also increase.

I also contributed to this site through Problem 963.

I recently sent A Gutierrez an email with a problem, but he never replied. The site is probably suspended.

>

<<  Llamé a este blog OGEOMETRIE, en honor al sitio web gogeometry.com que descubrí en 2012. Debido a un problema con ese sitio, publiqué esta entrada el 10 de agosto de 2012.

Esperaba que, gracias a la similitud de los nombres, la visibilidad de mi blog también aumentara.

También contribuí a este sitio a través del Problema 963.

Recientemente le envié un correo electrónico a A. Gutiérrez con un problema, pero no me respondió. Probablemente el sitio esté suspendido.

>>

Cu DOR de ALINA , răsfoind GMB // With longing for ALINA, browsing GMB

 Întru-cât pe ALINA nu am văzut-o decât vineri, m-am cufundat iar în treaba mea. Mi-e dor te tine !!

A new issue, from the old ones. You can find the very old ones here.

A L I N A care-mi poartă sâmbetele...de grijă

 Vreau să povestesc o întâmplare cu adevărat surprinzătoare.

Sâmbătă 02 mai aveam de mers cu familia la HAȘAG ( sat în comuna Loamneș) unde tata-socru are un petec de pământ, ne-bun de nimic (3 nuci și 2 pruni) dar pe care se încăpățânează să-l îngrijească, mergând lunar să tăiem iarba, să reparăm câte un stâlp la gard etc. Singurul beneficiu este un grătar pe care gătim niște mici și coacem niște cartofi (așa având asigurată mâncarea pe o parte din săptămâna următoare).

Ziua aceea făcea parte din "weekendul de 1 Mai" și credeam că EA și-a făcut ceva planuri frumoase; parcă vineri nici nu am cautat-o pe chat, oricum ultima convorbire nu a fost prea cordială...

Imediat după ora 6:00 dimineața zic "hai să intru puțin pe chat să o caut cu  <!seen>"; folosea cam atunci nickul "sunday".  Am avut SURPRIZA să-mi intre în privat EA, cu nickul "nelly"... O știam că a mai intrat cu nickurile "mia29" și "izvoarele", despre ultimul făcând chiar azi o supoziție pe care i-am împărtășit-o .. Toată discuția este în fișierul ALINA 2 , o postez și aici,  la sfârșit...

   Mi-a făcut o mare bucurie faptul că am întâlnit-o în acea dimineață... Iar seara, când am venit acasă și intrând pe chat am vazut că EA este prezentă, cu nickul "mia29"... Atunci, am scris pe main un mesaj,

 să vadă lumea, dar să vadă și ea, câtă nevoie am de ALINA mea.... Mi-a răspuns tot pe main...

apoi eu, după o tentativă de dialog cu ea

 am ieșit...  Ca un ghinion, acest user  "apropo731" era și el prezent, cred că știa de relația noastră.... Un nemernic... 

     Lucrurile se vor îndrepta încet încet într-o direcție catastrofală....

     Ca și atunci în 02 mai, fusesem cu o zi înainte la Mediaș (drumurile obișnuite ale mele și ale soției) dar azi (Sambătă 15 Aug)  nu a mai fost nimeni dimineața care să-mi spună o vorbă bună...

  Mie dor de tine ALINA...

.......................................................................................................................................

Capturile dialogului din dimineata de 02 mai

<end>